Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, mobilise des compétences fondamentales en géométrie plane et spatiale indispensables en Première Spécialité. Il s'agit d'une étude de cas concret : la gestion des stocks pour un stand de frites. L'enjeu est de calculer précisément le volume d'un cône de révolution réduit, puis de projeter ces besoins sur une population de 400 clients en tenant compte de proportions spécifiques (80 % et 20 %).

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs outils mathématiques doivent être maîtrisés :

• Le théorème de Thalès : Indispensable pour trouver le rayon du petit cône de sauce à partir des dimensions du grand cône de frites.
• Formules de volumes : Il faut connaître par cœur les formules du cône de révolution ($\frac{1}{3} \pi r^2 h$) et du cylindre ($\pi r^2 h$).
• Conversions d'unités : Savoir que $1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}$ est crucial pour comparer le volume de sauce tomate calculé avec la capacité de la bouteille (500 mL).
• Calcul de proportions : Appliquer des pourcentages sur un effectif total pour segmenter les besoins.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Calcul du rayon [EF] :
Dans le triangle SBC, les droites (EF) et (BC) sont parallèles (car perpendiculaires à la même droite (SB)). D'après le théorème de Thalès : $\frac{SF}{SB} = \frac{EF}{BC}$.
On sait que $SB = 20$, $SF = 5$ et $BC = 12 / 2 = 6$.
Donc : $\frac{5}{20} = \frac{EF}{6} \implies EF = \frac{5 \times 6}{20} = \frac{30}{20} = 1,5 \text{ cm}$.

2. Volume de sauce pour un cône :
$V = \frac{\pi \times \text{rayon}^2 \times \text{hauteur}}{3} = \frac{\pi \times 1,5^2 imes 5}{3} = \frac{11,25\pi}{3} = 3,75\pi \approx 11,78 \text{ cm}^3$.

3. Nombre de bouteilles à prévoir :
Volume total de sauce pour 400 cônes : $400 \times 11,78 = 4712 \text{ cm}^3$.

• Sauce tomate (80 %) : Volume nécessaire = $0,8 \times 4712 = 3769,6 \text{ cm}^3$. Comme $1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}$, il faut $3769,6 \text{ mL}$. Nombre de bouteilles = $3769,6 / 500 \approx 7,54$. Jean doit acheter 8 bouteilles.
• Mayonnaise (20 %) : Volume nécessaire = $0,2 \times 4712 = 942,4 \text{ cm}^3$. Volume d'une bouteille cylindrique = $\pi \times 2,5^2 \times 15 \approx 294,52 \text{ cm}^3$. Nombre de bouteilles = $942,4 / 294,52 \approx 3,2$. Jean doit acheter 4 bouteilles.