Introduction aux notions du Brevet 2019

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des collèges 2019 pour la zone Étrangers, se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format est un classique de l'épreuve de mathématiques de 3ème, car il permet d'évaluer rapidement un large spectre de compétences. Nous allons ici aborder des notions fondamentales : la décomposition en facteurs premiers (arithmétique), le calcul de pourcentage de réduction, la trigonométrie dans le triangle rectangle, les statistiques (médiane) et les transformations géométriques (homothétie).

Analyse Méthodique du QCM

L'avantage d'un QCM réside dans l'absence de pénalité en cas de mauvaise réponse. Il est donc impératif de répondre à toutes les questions, même en cas de doute, après avoir procédé par élimination.

Question 1 : Arithmétique et Facteurs Premiers

On nous demande la décomposition en produit de facteurs premiers de $28$.
Rappel de cours : Un nombre premier n'est divisible que par 1 et lui-même (2, 3, 5, 7, 11...).
L'analyse des réponses :
- Réponse A : $4 \times 7$. Bien que $4 \times 7 = 28$, le chiffre 4 n'est pas un nombre premier car il est divisible par 2.
- Réponse B : $2 \times 14$. Le nombre 14 n'est pas premier (divisible par 2 et 7).
- Réponse C : $2^2 \times 7$. Ici, 2 et 7 sont des nombres premiers. On vérifie : $4 \times 7 = 28$. C'est la bonne réponse.

Question 2 : Pourcentages et Réduction

Un pantalon coûte $58$ € et subit une réduction de $20\%$.
Méthode rapide : Multiplier par le coefficient multiplicateur.
Une réduction de $20\%$ revient à ne payer que $80\%$ du prix initial ($100\% - 20\% = 80\%$).
Le calcul est donc : $58 \times 0,80 = 46,40$.
Attention à ne pas simplement soustraire 20 au prix initial, une erreur classique d'étourderie !

Question 3 : Trigonométrie dans le triangle ABC

Nous sommes dans un triangle ABC rectangle en A (indiqué par le symbole de l'angle droit). On connaît l'angle $\widehat{ABC} = 15^\circ$ et le côté adjacent [AB] qui mesure $25$ m. On cherche le côté opposé [AC].
La formule à utiliser est la tangente (TOA) : $\tan(\text{angle}) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$.
Ici : $\tan(15^\circ) = \frac{AC}{25}$.
On en déduit : $AC = 25 \times \tan(15^\circ)$.
À la calculatrice : $25 \times \tan(15) \approx 6,698$.
L'énoncé demande un arrondi au dixième, soit $6,7$ m (Réponse B).

Question 4 : Statistique et Médiane

Série : 2 ; 5 ; 3 ; 12 ; 8 ; 6.
Étape 1 : Ranger les valeurs dans l'ordre croissant : 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 8 ; 12.
Étape 2 : Compter l'effectif total ($N=6$).
Comme $N$ est pair, la médiane se situe entre la 3ème et la 4ème valeur ($6 / 2 = 3$).
Les valeurs centrales sont 5 et 6. La médiane est la moyenne de ces deux nombres : $(5 + 6) / 2 = 5,5$. (Réponse A).

Question 5 : Homothétie et Rapport

On observe le passage du carré A au carré B. Le carré B est une réduction du carré A.
Le côté du carré A est de 2 unités, celui du carré B est de 1 unité.
Le rapport $k$ d'une réduction est compris entre -1 et 1.
Comme l'image n'est pas retournée par rapport au centre, le rapport est positif.
Rapport $k = \frac{\text{longueur finale}}{\text{longueur initiale}} = \frac{1}{2} = 0,5$. (Réponse B).

Les Pièges à éviter

1. **En Arithmétique** : Ne confondez pas une décomposition simple et une décomposition en facteurs *premiers*.
2. **En Trigonométrie** : Vérifiez que votre calculatrice est bien en mode DEGRÉS et non en RADIANS.
3. **En Statistiques** : Ne calculez jamais la médiane sans avoir trié les nombres au préalable ! C'est l'erreur qui coûte le plus de points.

Conseils de Rédaction

Même si pour un QCM on ne vous demande pas de justification sur la copie, faites-les systématiquement au brouillon. Pour la copie, respectez la consigne : 'indiquer le numéro de la question et recopier la réponse choisie'. Exemple : 'Question 1 : Réponse C'. Une présentation propre facilite la lecture du correcteur et réduit votre propre stress.