Introduction aux notions du Brevet

Cet exercice issu de la session 2019 du Brevet en Nouvelle-Calédonie est un format classique de type 'Vrai ou Faux' avec justification. Ce type d'exercice est particulièrement exigeant car il demande une maîtrise parfaite de plusieurs chapitres du programme de 3ème. Nous allons ici mobiliser trois piliers des mathématiques du collège : la réciproque du théorème de Pythagore, la règle des signes dans les produits, et les agrandissements-réductions liés aux calculs d'échelles. L'objectif n'est pas seulement de donner la bonne réponse, mais de produire une démonstration rigoureuse qui respecte les standards de l'examen.

Analyse de l'Affirmation 1 : Le triangle ABC est-il rectangle ?

La première question nous présente un triangle ABC avec les longueurs suivantes : $AC = 4,5$, $CB = 6$ et $AB = 7,5$. Pour déterminer si un triangle est rectangle lorsque l'on connaît ses trois côtés, l'outil incontournable est la réciproque du théorème de Pythagore.

Le raisonnement : On commence toujours par identifier le côté le plus long, ici $[AB]$ qui mesure $7,5$. On calcule ensuite séparément le carré de cette longueur et la somme des carrés des deux autres côtés.

• D'une part : $AB^2 = 7,5^2 = 56,25$
• D'autre part : $AC^2 + CB^2 = 4,5^2 + 6^2 = 20,25 + 36 = 56,25$

On constate que $AB^2 = AC^2 + CB^2$. L'égalité de Pythagore est vérifiée. Par conséquent, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C. L'affirmation 1 est VRAIE.

Analyse de l'Affirmation 2 : Le produit de cinq facteurs

Cette affirmation touche au calcul numérique et à la logique algébrique. L'énoncé suggère que si un produit de cinq facteurs est strictement positif, alors aucun n'est négatif. C'est une confusion classique sur la règle des signes.

Le raisonnement : Rappelons la règle : le signe d'un produit dépend du nombre de facteurs négatifs. Si ce nombre est pair, le produit est positif. Si ce nombre est impair, le produit est négatif. Pour un produit de cinq facteurs, celui-ci peut être positif si :

• Il y a zéro facteur négatif (tous positifs).
• Il y a deux facteurs négatifs (le produit de deux nombres négatifs est positif).
• Il y a quatre facteurs négatifs.

Il suffit de trouver un contre-exemple pour infirmer la proposition. Par exemple : $(-1) \times (-1) \times 1 \times 1 \times 1 = 1$. Le produit est positif, pourtant il y a deux facteurs négatifs. L'affirmation 2 est FAUSSE.

Analyse de l'Affirmation 3 : Rapport de réduction du Phare Amédée

Ici, nous abordons la notion d'échelle et de réduction. Le phare réel mesure $56$ m et sa maquette mesure $20$ cm. L'affirmation propose un rapport de $\frac{1}{28}$.

Le raisonnement : La règle d'or pour calculer un rapport est d'utiliser la même unité pour les deux valeurs. Convertissons la hauteur réelle en centimètres : $56 \text{ m} = 5600 \text{ cm}$. Le rapport de réduction est donné par la formule : $\text{Rapport} = \frac{\text{Dimension Maquette}}{\text{Dimension Réelle}}$.

Soit : $\text{Rapport} = \frac{20}{5600}$. En simplifiant par $10$, on obtient $\frac{2}{560}$. En divisant numérateur et dénominateur par $2$, on arrive à $\frac{1}{280}$. L'affirmation proposait $\frac{1}{28}$, ce qui est dix fois plus grand. L'affirmation 3 est FAUSSE.

Les Pièges à éviter le jour de l'examen

Pour l'affirmation 1, ne rédigez jamais sous la forme d'une égalité dès le départ ($AB^2 = AC^2 + BC^2$). C'est une erreur de logique car vous ne savez pas encore si l'égalité est vraie. Il faut séparer les calculs avec 'D'une part' et 'D'autre part'.

Pour l'affirmation 3, l'erreur classique est d'oublier la conversion. Si vous divisez $56$ par $20$, vous obtenez $2,8$, ce qui peut induire en erreur et faire croire que le chiffre $28$ est correct. Soyez vigilants sur les unités : on ne compare que ce qui est comparable !

Conseils de rédaction pour maximiser les points

La justification est le cœur de la note. Pour chaque réponse :
1. Annoncez clairement votre position (Vrai ou Faux).
2. Citez le théorème ou la règle utilisée (ex: 'Réciproque du théorème de Pythagore').
3. Présentez vos calculs de manière aérée.
4. Concluez en faisant le lien avec l'affirmation initiale. Même si une trace de recherche est valorisée, une structure 'Données / Propriété / Conclusion' reste la plus efficace pour convaincre le correcteur.