Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue une excellente base de révision pour un élève de Première Spécialité. Il permet d'aborder la modélisation fonctionnelle et la comparaison entre une croissance linéaire (le volume du cylindre) et une croissance polynomiale de degré 3 (le volume du cône en fonction de la hauteur). Dans le cadre du programme de Première, on y voit une application directe des fonctions de référence et de la manipulation des expressions algébriques.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, il est essentiel de maîtriser :

• Les formules de géométrie dans l'espace (cylindre de révolution et cône).
• La lecture graphique de fonctions non linéaires.
• La conversion d'unités de volume : savoir que $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ Litre} = 1000 \text{ cm}^3$.
• La résolution d'équations simples du type $ax = b$.

Correction détaillée

1. Analyse graphique :
a. Le volume et la hauteur sont proportionnels pour le Verre A. En effet, sa représentation graphique est une droite passant par l'origine, ce qui caractérise une fonction linéaire de la forme $V(h) = k \times h$.
b. Pour le verre A, si la hauteur est de $5$ cm, on lit graphiquement ou on calcule : $V = \pi \times 3^2 \times 5 = 45\pi \approx 141 \text{ cm}^3$.
c. Pour le verre B, pour un volume de $50 \text{ cm}^3$, on repère la valeur sur l'axe des ordonnées et on lit une hauteur d'environ $5,5$ cm sur l'axe des abscisses.

2. Comparaison des volumes totaux :
Calculons $V_A = \pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi \approx 282,7 \text{ cm}^3$.
Calculons $V_B = \frac{1}{3} \times \pi \times 5,2^2 \times 10 = \frac{270,4\pi}{3} \approx 283,2 \text{ cm}^3$.
À $1 \text{ cm}^3$ près, les deux verres ont bien un volume de $283 \text{ cm}^3$.

3. Hauteur pour un volume spécifique :
On cherche $h$ tel que $V_A(h) = 200$.
$\pi \times 3^2 \times h = 200 \Rightarrow 9\pi h = 200 \Rightarrow h = \frac{200}{9\pi} \approx 7,07 \text{ cm}$.
La hauteur arrondie au centimètre près est de $7$ cm.

4. Optimisation du service :
a. Pour une hauteur de $8$ cm, le graphique montre que la courbe du verre B est située en dessous de la droite du verre A. Le volume de jus dans le verre B est donc inférieur. Pour servir le plus grand nombre de verres avec $1$ L, il faut choisir le verre qui contient le moins de liquide pour une hauteur donnée : c'est le Verre B.
b. Calcul pour le verre A : $V = \pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \approx 226,2 \text{ cm}^3$.
Nombre de verres : $1000 / 226,2 \approx 4,42$. Le restaurateur pourra servir au maximum **4 verres** entiers.