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Exercice Première Spécialité - 2019 - Ex 5 : Géométrie et Grandeurs

1 juin 2019 Troisième (Brevet)

Révise la Géométrie avec style ! 🏖️

Prêt à construire ton propre bac à sable ? Cet exercice complet est l'outil parfait pour maîtriser les fondamentaux de la géométrie en Première Spécialité. En travaillant sur ce sujet, tu vas :

✅ Consolider l'usage du théorème de Pythagore.
✅ Apprendre à jongler entre les unités de mesure (m, cm, L).
✅ Calculer des aires complexes et des volumes de prismes.

C'est un entraînement idéal pour développer ta rigueur et ne plus tomber dans les pièges classiques d'unités ! 🚀

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Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude d'une structure tridimensionnelle complexe : un prisme droit dont la base est un polygone irrégulier. La résolution demande une approche méthodique mêlant géométrie plane (théorème de Pythagore, propriétés des quadrilatères) et géométrie dans l'espace (calcul de volume). L'enjeu majeur réside dans la gestion des unités et la vision géométrique nécessaire pour décomposer la figure de base en formes élémentaires.

Points de vigilance et notions requises

Théorème de Pythagore : Indispensable pour calculer l'hypoténuse CD dans le triangle rectangle CDP.
Conversions d'unités : L'énoncé mélange centimètres et mètres. Il est crucial de tout convertir en mètres (m) pour les calculs d'aire et en litres (L) pour le volume final (1 m³ = 1000 L).
Calcul d'aire composée : L'aire du polygone ABCDE s'obtient plus facilement en soustrayant l'aire du triangle rectangle CDP de l'aire du carré ABPE.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Calcul de CD : Dans le triangle CDP rectangle en P, on applique le théorème de Pythagore : CD² = CP² + DP². Comme CP = PD = 1,30 m, on a CD² = 1,3² + 1,3² = 1,69 + 1,69 = 3,38. Ainsi, CD = √3,38 ≈ 1,84 m (arrondi au cm).

2. Nature de ABPE : On calcule les longueurs totales. BP = BC + CP = 0,40 + 1,30 = 1,70 m. EP = ED + DP = 0,40 + 1,30 = 1,70 m. Le quadrilatère possède trois angles droits (en A, B et E selon le codage) et deux côtés consécutifs égaux (BP = EP), c'est donc un carré de 1,70 m de côté.

3. Périmètre de ABCDE : P = AB + BC + CD + DE + EA. En remplaçant par les valeurs : P = 1,70 + 0,40 + 1,84 + 0,40 + 1,70 = 6,04 m.

4. Nombre de planches : On divise le périmètre par la longueur d'une planche : 6,04 / 2,40 ≈ 2,52. Il faut donc acheter 3 planches pour faire le tour complet.

5. Aire de la base : Aire(ABCDE) = Aire(ABPE) - Aire(CDP). Aire = (1,7 × 1,7) - (1,3 × 1,3 / 2) = 2,89 - 0,845 = 2,045 m².

6. Volume et capacité : La hauteur est de 15 cm, soit 0,15 m. Volume = Aire de la base × hauteur = 2,045 × 0,15 = 0,30675 m³. Sachant que 1 m³ = 1000 L, le volume est de 306,75 L. La réponse est donc OUI, il faut plus de 300 L de sable.