Introduction aux notions de lecture graphique et de vitesse

L'exercice 6 du sujet de Brevet 2019 (zone Étrangers) est un classique incontournable pour tout élève de 3ème préparant son Diplôme National du Brevet. Il mobilise deux compétences majeures du cycle 4 : la capacité à extraire des informations d'une représentation graphique et la maîtrise des grandeurs composées, ici la vitesse moyenne. Cet exercice s'inscrit dans un contexte concret, celui d'une randonnée familiale, ce qui permet de donner du sens aux concepts mathématiques de variation, de proportionnalité et de rythme. Comprendre comment lire un graphique en fonction du temps est essentiel non seulement pour les mathématiques, mais aussi pour les sciences physiques et la vie quotidienne.

Analyse méthodologique de l'exercice

L'exercice se décompose en trois phases : l'identification de la nature de la fonction, la lecture directe de données et l'application d'un calcul de vitesse pour une comparaison de performance.

1. Justifier l'absence de proportionnalité

La première question demande si le graphique traduit une situation de proportionnalité. En mathématiques, une situation de proportionnalité est représentée graphiquement par une droite passant par l'origine. Or, si nous observons le graphique fourni par l'énoncé, nous constatons que bien que la courbe parte de l'origine $(0,0)$, elle n'est pas une ligne droite unique. Elle est constituée de plusieurs segments de pentes différentes (une ligne brisée). Par exemple, entre $t=0$ et $t=1$, la famille parcourt 4 km, mais entre $t=2$ et $t=3$, elle ne parcourt que 1 km (de 7 à 8 km). Comme l'accroissement de la distance n'est pas constant par rapport à l'accroissement du temps, ce n'est pas une situation de proportionnalité. Pour la rédaction, il suffit de dire : "Les points ne sont pas alignés sur une même droite passant par l'origine, donc ce n'est pas une situation de proportionnalité."

2. Lecture de données graphiques : Les points clés

La deuxième partie de l'exercice teste votre capacité à repérer des coordonnées. Il est crucial de ne pas confondre l'axe des abscisses (temps en heures) et l'axe des ordonnées (distance en km).
- Durée totale : On regarde la fin du dernier segment. Le point d'arrivée est à $x = 7$. La randonnée a donc duré 7 heures.
- Distance totale : On regarde l'ordonnée de ce dernier point. $y = 20$. La famille a parcouru 20 km.
- Distance à 6h : On se place à $x = 6$ sur l'axe horizontal, on remonte verticalement jusqu'à la courbe, puis on lit la valeur sur l'axe vertical. On trouve 18 km.
- Temps pour les 8 premiers km : On cherche $y = 8$ sur l'axe vertical, on suit la ligne horizontale jusqu'à la courbe, puis on descend vers l'axe horizontal. On trouve $x = 3$ heures.
- Analyse de la pause : Entre la 4ème et la 5ème heure, le graphique montre un segment horizontal (ordonnée constante à 15 km). Cela signifie que le temps s'écoule mais que la distance n'augmente pas. La famille s'est donc arrêtée (pause déjeuner ou repos).

3. Calcul de vitesse et interprétation

La dernière question demande si la famille est "expérimentée" selon le critère d'une vitesse moyenne de 4 km/h. C'est ici qu'intervient la formule $v = \frac{d}{t}$.
Nous savons que la distance totale $d = 20$ km et le temps total $t = 7$ h. Calculons la vitesse moyenne de la famille : $v = 20 / 7 \approx 2,86$ km/h.
Puisque $2,86 < 4$, on en conclut que la famille n'est pas considérée comme "expérimentée" selon ce critère précis. La rédaction doit être rigoureuse : présentez la formule, le calcul avec les valeurs numériques, le résultat arrondi et la conclusion comparative.

Les pièges à éviter lors de l'épreuve

Plusieurs erreurs classiques sont commises par les élèves sur ce type d'exercice :
1. L'erreur d'unité : Assurez-vous que le temps est bien exprimé en heures avant de calculer la vitesse. Si l'énoncé donnait des minutes, il faudrait les convertir.
2. L'erreur de lecture : Ne confondez pas l'intervalle (entre 4h et 5h) avec un point précis.
3. L'oubli de la justification : Même si la question 2 précise qu'aucune justification n'est demandée, les questions 1 et 3 l'exigent impérativement. Une réponse sans calcul ou sans argument géométrique perdrait la moitié des points.

Conseils de rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
- Utilisez une règle pour effectuer vos lectures graphiques sur votre sujet, cela évite les erreurs de parallaxe.
- Pour la question sur la proportionnalité, utilisez les termes précis : "points alignés", "origine", "droite".
- Pour le calcul de la vitesse, n'oubliez pas de citer l'unité (km/h) dans votre résultat final. Si vous faites un arrondi, utilisez le symbole $\approx$ et non $=$.

Synthèse des compétences travaillées

En résolvant cet exercice, vous travaillez l'analyse de fonctions affines par morceaux. C'est une excellente préparation pour comprendre la notion de taux de variation. Plus la pente du segment est forte, plus la vitesse instantanée est élevée. À l'inverse, un segment plat indique une vitesse nulle. Cette interprétation visuelle de la pente est une base fondamentale pour les classes de Lycée, notamment pour l'étude des dérivées en classe de Première.