Introduction aux notions de Géométrie Plane du Brevet

L'exercice 2 du sujet de mathématiques du Brevet 2019 (Zone Grèce) est un modèle de synthèse sur les compétences de géométrie attendues en fin de troisième. Il mobilise quatre piliers fondamentaux du programme : la trigonométrie dans le triangle rectangle, la démonstration par les triangles semblables, le calcul de longueurs via un coefficient d'agrandissement-réduction, et enfin l'étude des propriétés des triangles particuliers. Ce type d'exercice est hautement probable lors de l'examen national car il permet d'évaluer la capacité de l'élève à lier différentes propriétés géométriques entre elles pour résoudre un problème complexe. Les données initiales présentent deux triangles rectangles, $TSR$ et $SPU$, articulés autour d'un point pivot $S$. La maîtrise de la configuration des points alignés et des angles alternes-internes ou supplémentaires est ici la clé du succès.

Analyse Méthodique et Guide de Résolution

Abordons la première question qui nous demande de montrer que la mesure de l'angle $\widehat{TSR}$ est de $60^{\circ}$. Ici, nous disposons du triangle $TSR$ rectangle en $T$. Nous connaissons le côté adjacent à l'angle, $TS = 14$ cm, et l'hypoténuse $RS = 28$ cm. Le réflexe immédiat doit être l'utilisation du cosinus : $\cos(\widehat{TSR}) = \frac{TS}{RS} = \frac{14}{28} = 0,5$. En utilisant la calculatrice (touche $Arccos$ ou $\cos^{-1}$), on obtient bien $\widehat{TSR} = 60^{\circ}$. Cette première étape est cruciale car elle débloque toute la suite de l'exercice.

La Démonstration des Triangles Semblables

Dans la deuxième question, l'objectif est de démontrer que $SRT$ et $SUP$ sont semblables. Pour rappel, deux triangles sont semblables s'ils ont leurs angles deux à deux égaux. Nous savons déjà que $\widehat{STR} = \widehat{SPU} = 90^{\circ}$ car ce sont des triangles rectangles. Dans le triangle $SPU$, nous connaissons l'angle $\widehat{SUP} = 30^{\circ}$. Par la règle de la somme des angles d'un triangle ($180^{\circ}$), on calcule $\widehat{USP} = 180 - (90 + 30) = 60^{\circ}$. Ainsi, les triangles $SRT$ et $SUP$ possèdent deux angles identiques ($90^{\circ}$ et $60^{\circ}$), ce qui suffit à affirmer qu'ils sont semblables. Les angles homologues sont donc $(\widehat{TSR}, \widehat{USP})$, $(\widehat{STR}, \widehat{SPU})$ et $(\widehat{SRT}, \widehat{SUP})$.

Calcul du Coefficient de Réduction et Longueurs

Le passage d'un triangle semblable à un autre s'effectue par un rapport d'homothétie. Le coefficient $k$ se calcule en divisant une longueur du triangle d'arrivée par la longueur correspondante du triangle de départ. Ici, les côtés homologues adjacents à l'angle de $60^{\circ}$ sont $TS$ et $SP$. On calcule $k = \frac{SP}{TS} = \frac{10,5}{14} = 0,75$. Puisque $k < 1$, il s'agit d'une réduction. Pour la question 4, on cherche $SU$, qui est l'hypoténuse de $SUP$, correspondant à l'hypoténuse $RS$ de $SRT$. On applique donc : $SU = RS \times k = 28 \times 0,75 = 21$ cm.

Analyse Finale : La Nature du Triangle SKL

La dernière question demande de justifier la nature du triangle $SKL$. C'est ici que l'analyse des angles autour du point $S$ intervient. Les points $T, S$ et $P$ sont alignés, formant un angle plat de $180^{\circ}$. On sait que $\widehat{TSR} = 60^{\circ}$ et $\widehat{USP} = 60^{\circ}$. L'angle intermédiaire $\widehat{RSU}$ (qui est le même que $\widehat{KSL}$ puisque les points sont alignés sur les segments) se calcule ainsi : $\widehat{KSL} = 180 - (60 + 60) = 60^{\circ}$. Or, l'énoncé nous donne $\widehat{SKL} = 60^{\circ}$. Dans le triangle $SKL$, si deux angles valent $60^{\circ}$, le troisième vaut nécessairement $60^{\circ}$ ($180 - 120$). Possédant trois angles égaux, le triangle $SKL$ est un triangle équilatéral.

Les Pièges à Éviter

Attention à ne pas confondre le côté adjacent et le côté opposé lors de l'utilisation de la trigonométrie. Une erreur fréquente est d'utiliser le sinus au lieu du cosinus dans la question 1. De plus, n'oubliez jamais de mentionner l'unité (cm) dans vos résultats finaux pour les longueurs, mais pas pour les rapports de réduction. Un autre piège classique réside dans l'ordre des lettres pour les triangles semblables : veillez à bien apparier les sommets homologues pour calculer le bon coefficient $k$.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, soignez votre présentation. Commencez chaque calcul par une phrase d'introduction : "Dans le triangle $TSR$ rectangle en $T$". Citez précisément le nom de la propriété utilisée (Théorème de la somme des angles, définition du cosinus, propriété des triangles semblables). Pour la question sur la nature du triangle, une figure codée au brouillon peut vous aider à ne pas oublier d'angles en cours de route.