Analyse de l'énoncé et thématiques abordées
Cet exercice, extrait du sujet de Nouvelle-Calédonie 2019, se présente sous la forme d'un QCM (Vrai/Faux) avec justification obligatoire. Il mobilise des compétences transversales essentielles pour un élève de Première Spécialité : la maîtrise de la géométrie plane élémentaire, la logique arithmétique et la gestion des unités de mesure dans les calculs de proportions.
Points de vigilance et notions de cours
- Théorème de Pythagore : Il faut distinguer le théorème direct (calcul de longueur) de sa réciproque (démonstration de l'orthogonalité).
- Logique et Signes : Comprendre qu'un produit positif ne dépend pas de l'absence de facteurs négatifs, mais de la parité du nombre de facteurs négatifs.
- Conversions d'unités : Toujours exprimer les dimensions dans la même unité avant d'établir un rapport d'échelle ou de réduction.
Correction Détaillée de l'exercice
Affirmation 1 : ABC est un triangle rectangle. (Vraie)
Nous connaissons les trois longueurs du triangle ABC : $AB = 7,5$, $BC = 6$ et $AC = 4,5$. Identifions le côté le plus long : $[AB]$.
Calculons séparément :
1. $AB^2 = 7,5^2 = 56,25$
2. $AC^2 + CB^2 = 4,5^2 + 6^2 = 20,25 + 36 = 56,25$
Puisque $AB^2 = AC^2 + CB^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C. L'affirmation est donc Vraie.
Affirmation 2 : Si un produit de cinq facteurs est strictement positif, alors aucun des facteurs n'est négatif. (Fausse)
En mathématiques, un contre-exemple suffit à invalider une affirmation universelle. La règle des signes stipule qu'un produit est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair. Si nous prenons deux facteurs négatifs et trois positifs, le produit sera strictement positif.
Exemple : $(-1) \times (-1) \times 1 \times 1 \times 1 = 1 > 0$.
Ici, deux facteurs sont négatifs, ce qui contredit l'affirmation. L'affirmation est donc Fausse.
Affirmation 3 : Le rapport de réduction est égal à $1/28$. (Fausse)
Pour calculer le rapport de réduction, il faut diviser la hauteur de la maquette par la hauteur réelle, en utilisant la même unité.
Hauteur réelle : $56\text{ m} = 5\,600\text{ cm}$.
Hauteur maquette : $20\text{ cm}$.
Rapport $k = \frac{20}{5600} = \frac{2}{560} = \frac{1}{280}$.
Le rapport est de $1/280$ et non $1/28$. L'affirmation est donc Fausse.