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Exercice Première Spécialité - 2019 - Ex 5 : Géométrie repérée et configurations

1 juin 2019 Troisième (Brevet)

Révise la géométrie avec style ! 📐

Prêt à tester tes réflexes sur les configurations de Thalès et Pythagore ? Cet exercice est un excellent entraînement pour consolider tes bases, essentielles pour aborder sereinement la géométrie repérée et le produit scalaire en Première Spécialité.

✅ Maîtrise les rapports de proportionnalité.
✅ Applique Pythagore en situation concrète.
✅ Déjoue les pièges des mesures d'épaisseur.

Un incontournable pour assurer tes points au prochain DS et devenir un pro de la modélisation ! 🚀

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Analyse de l'énoncé

Cet exercice, extrait du sujet Étrangers 2019, mobilise des compétences fondamentales de géométrie plane qui constituent le socle de la géométrie repérée en Première Spécialité. L'objectif est d'étudier la structure d'un meuble de rangement en utilisant les propriétés des triangles semblables et des configurations classiques. L'exercice demande d'articuler la réciproque du théorème de Thalès pour le parallélisme et le théorème de Pythagore pour le calcul de longueurs dans un contexte de modélisation réelle.

Points de vigilance

Ordre des points : Pour la réciproque de Thalès, il est impératif de préciser l'alignement des points (A, O, D et B, O, C) dans le bon ordre pour valider l'égalité des rapports.
Identification des triangles : Le triangle ACD est rectangle en C, ce qui permet d'utiliser Pythagore pour trouver la hauteur verticale (le segment AC).
Somme des dimensions : Une erreur fréquente consiste à oublier l'épaisseur des plateaux en bois ou à mal compter le nombre de plateaux par rapport au nombre d'étages métalliques.

Correction détaillée ou guide de résolution

1. Démonstration du parallélisme (AB) // (CD) :

Considérons les droites (AD) et (BC) sécantes en O. Calculons et comparons les rapports de longueurs :
OA / OD = 36 / 64 = 9 / 16 = 0,5625
OB / OC = 27 / 48 = 9 / 16 = 0,5625
On observe que OA / OD = OB / OC. Comme les points A, O, D et B, O, C sont alignés dans cet ordre, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

2. Calcul de la longueur AB :

Puisque les droites sont parallèles, nous appliquons le théorème de Thalès dans sa forme directe :
AB / CD = OA / OD. En remplaçant par les valeurs, on obtient :
AB / 80 = 36 / 64
AB = 80 × (36 / 64) = 80 × 0,5625 = 45 cm.

3. Calcul de la hauteur totale :

La hauteur d'un étage correspond à la longueur AC. Le triangle ACD est rectangle en C. On connaît CD = 80 cm et AD = AO + OD = 36 + 64 = 100 cm. D'après le théorème de Pythagore :
AC² + CD² = AD² ⇒ AC² + 80² = 100² ⇒ AC² = 10 000 - 6 400 = 3 600.
On en déduit que AC = √3600 = 60 cm.
Le meuble comporte 4 étages métalliques et 5 plateaux en bois de 2 cm chacun. La hauteur totale H est donc :
H = (4 × 60) + (5 × 2) = 240 + 10 = 250 cm (soit 2,50 mètres).