Analyse de l'énoncé et modélisation
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue une base fondamentale pour le programme de Première Spécialité en mathématiques. Il sollicite des compétences de modélisation algébrique, de développement, de factorisation et de résolution d'équations. L'objectif est de traduire des suites d'instructions (algorithmes de calcul) en fonctions polynomiales de degré 1 et 2.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser les points suivants :
- La traduction d'un programme de calcul en expression algébrique (rigueur dans l'usage des parenthèses).
- Le développement avec la distributivité simple et double.
- La notion d'équation produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
- La soustraction de polynômes, en faisant attention aux changements de signes lors de la suppression des parenthèses.
Guide de résolution détaillé
1. Vérification numérique
Pour le programme 1 avec 5 : $5 \times 3 + 1 = 15 + 1 = 16$.
Pour le programme 2 avec 5 : $(5-1) \times (5+2) = 4 \times 7 = 28$. Les résultats sont confirmés.
2. Modélisation de A(x) et résolution
Le programme 1 se traduit par la fonction affine $A(x) = 3x + 1$. Pour obtenir 0, on résout $3x + 1 = 0$, soit $3x = -1$, d'où $x = -1/3$.
3. Développement de B(x)
En utilisant la double distributivité : $B(x) = (x - 1)(x + 2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$. C'est une fonction polynôme du second degré.
4. Comparaison des programmes
On étudie la différence $B(x) - A(x)$.
$B(x) - A(x) = (x^2 + x - 2) - (3x + 1) = x^2 + x - 2 - 3x - 1 = x^2 - 2x - 3$.
En développant la forme proposée $(x + 1)(x - 3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3$, on confirme l'égalité. Pour que les deux programmes donnent le même résultat, on cherche $B(x) = A(x)$, soit $B(x) - A(x) = 0$. On utilise la forme factorisée : $(x + 1)(x - 3) = 0$. Les solutions sont $x = -1$ et $x = 3$.