Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu du sujet Amérique du Sud 2019, porte sur la modélisation de situations réelles à l'aide de fonctions affines définies par morceaux. L'objectif est de calculer le montant d'un remboursement kilométrique en fonction d'une distance donnée, puis de confronter ce résultat à des dépenses effectives (péage et carburant). Bien que cet exercice soit initialement posé au DNB, il constitue une excellente base de révision pour le socle de calcul et la lecture de données complexes en Première Spécialité.
Points de vigilance et notions de cours
- Lecture de tableau : Il est crucial de bien identifier l'intervalle dans lequel se situe la distance $d$ pour choisir les bons coefficients $a$ et $b$.
- Proportionnalité : La consommation de carburant est donnée pour 100 km. Il faut donc penser à diviser la distance totale par 100 avant de multiplier par la consommation moyenne.
- Rigueur des arrondis : Pour les montants financiers, on arrondit généralement au centime d'euro le plus proche.
Guide de résolution détaillé
1. Vérification pour 30 km :
Pour une distance $d = 30$ km, nous regardons le tableau du Document 1. La valeur 30 se trouve dans la ligne « De 17 km à 32 km ». On en extrait $a = 0,2503$ et $b = 0,2165$.
Le calcul est : $0,2503 + 0,2165 \times 30 = 0,2503 + 6,495 = 6,7453$.
Le montant est donc bien d'environ 6,75 €.
2. Analyse du trajet Nantes-Paris :
Étape A : Calcul du remboursement. La distance est de 386 km. Dans le tableau, cela correspond à la tranche « De 301 km à 499 km », soit $a = 13,6514$ et $b = 0,1030$.
Remboursement $R = 13,6514 + 0,1030 \times 386 = 13,6514 + 39,758 = 53,4094$ €. Soit environ 53,41 €.
Étape B : Calcul des dépenses réelles.
Le coût du carburant se calcule ainsi : $(386 / 100) \times 6,2 \times 1,52 = 3,86 \times 6,2 \times 1,52 = 23,932 \text{ litres} \times 1,52 \approx 36,38$ €.
Dépense totale = Péage + Carburant = $37 + 36,38 = 73,38$ €.
Conclusion : Le remboursement (53,41 €) est inférieur aux dépenses réelles (73,38 €). Le remboursement ne sera donc pas suffisant.