Analyse de l'énoncé : Comparaison de tarifs de peinture

Cet exercice, issu du sujet de Nouvelle-Calédonie 2019, porte sur la modélisation de situations concrètes à l'aide de fonctions. Bien que posé initialement au niveau collège, il constitue une base essentielle pour la Première Spécialité, notamment pour la manipulation des polynômes de degré 1 (fonctions affines) et la résolution de systèmes d'équations/inéquations par lecture graphique.

Points de vigilance et notions requises

• Nature des fonctions : Distinguer une fonction linéaire ($f(x) = ax$), une fonction affine ($f(x) = ax + b$) et une fonction constante ($f(x) = k$).
• Représentation graphique : Savoir placer des points précis et comprendre qu'une fonction linéaire passe par l'origine.
• Interprétation : Comprendre que l'intersection de deux courbes correspond à l'égalité des tarifs.

Correction détaillée

1. Vérification pour 40 m²

• Peintre A : $1500 \times 40 = 60\,000$ F.
• Peintre B : $(1000 \times 40) + 10\,000 = 40\,000 + 10\,000 = 50\,000$ F.
• Peintre C : Forfait fixe de $70\,000$ F.

2. Expression de B(x)

Le prix dépend de la surface $x$ avec un coût variable par m² et un coût fixe. On a donc : $B(x) = 1000x + 10\,000$.

3. Étude de la fonction A

• Nature : $A(x) = 1500x$ est de la forme $ax$, c'est donc une fonction linéaire.
• Image de 60 : $A(60) = 1500 \times 60 = 90\,000$.
• Antécédent de 30 000 : On résout $1500x = 30\,000$, d'où $x = \frac{30\,000}{1500} = 20$. Pour 20 m², le prix est de 30 000 F.

4. Résolution d'équation et interprétation

Résolution : $1500x = 1000x + 10\,000 \Leftrightarrow 500x = 10\,000 \Leftrightarrow x = 20$.
Interprétation : Pour une surface de 20 m², les tarifs des peintres A et B sont strictement identiques.

5. Lecture graphique

Le peintre B est le moins cher lorsque sa droite se situe en dessous des deux autres. Graphiquement, cela correspond à l'intervalle où la surface est comprise entre 20 m² (intersection avec A) et 60 m² (intersection avec C, car $1000 \times 60 + 10\,000 = 70\,000$).