Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, pose les jalons fondamentaux du programme de Spécialité Mathématiques en Première. Il traite de la manipulation d'expressions algébriques sous différentes formes (développée et factorisée) et introduit la notion de fonction du second degré via un programme de calcul. L'objectif est de savoir passer d'un énoncé verbal à une modélisation mathématique précise, puis d'exploiter les propriétés d'un produit nul.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, il est nécessaire de maîtriser :

• La traduction d'un algorithme en expression littérale.
• Le développement et la réduction d'expressions (distributivité).
• La forme factorisée d'un polynôme du second degré.
• Le théorème du produit nul : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
• L'utilisation d'un tableur (adressage relatif des cellules).

Correction détaillée

1. Vérification avec le nombre 1 :
En choisissant 1 : $1^2 = 1$. On ajoute le triple : $1 + 3 \times 1 = 4$. On ajoute 2 : $4 + 2 = 6$. Le résultat est bien 6.

2. Calcul avec le nombre -5 :
En choisissant -5 : $(-5)^2 = 25$. On ajoute le triple : $25 + 3 \times (-5) = 25 - 15 = 10$. On ajoute 2 : $10 + 2 = 12$.

3. Expression en fonction de x :
Soit $x$ le nombre de départ. Le programme effectue l'opération suivante : $f(x) = x^2 + 3x + 2$. C'est une fonction polynôme du second degré de la forme $ax^2 + bx + c$ avec $a=1, b=3, c=2$.

4. Équivalence des formes :
Pour montrer que $x^2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1)$, développons le membre de droite :
$(x + 2)(x + 1) = x \times x + x \times 1 + 2 \times x + 2 \times 1 = x^2 + x + 2x + 2 = x^2 + 3x + 2$. Les deux expressions sont strictement identiques pour tout réel $x$.

5. Analyse du tableur et résolution :
a. La formule saisie en B2 pour calculer le résultat à partir de la valeur en B1 est : =(B1+2)*(B1+1) ou =B1^2+3*B1+2.
b. Chercher les valeurs de $x$ pour lesquelles le programme donne 0 revient à résoudre l'équation produit nul : $(x + 2)(x + 1) = 0$.
Soit $x + 2 = 0 \implies x = -2$, soit $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Les solutions sont -2 et -1, ce qui se confirme dans les colonnes D et E du tableur.

Lien avec le programme de Première

En Première Spécialité, cet exercice pourrait être prolongé par l'étude du discriminant $\Delta$. Ici, $\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$. Les racines seraient alors calculées via les formules classiques, confirmant $x_1 = -2$ et $x_2 = -1$.