Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique de la géométrie plane. Il mobilise des compétences fondamentales en trigonométrie et sur les propriétés des triangles semblables. Pour un élève de Première Spécialité, ces notions constituent le socle nécessaire avant d'aborder le produit scalaire ou la trigonométrie circulaire (cercle trigonométrique, radians, fonctions sinus et cosinus). L'objectif ici est de manipuler les rapports de longueur dans des triangles rectangles et de justifier l'alignement et la similitude de figures géométriques.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, il faut impérativement maîtriser :

• Les formules de trigonométrie dans le triangle rectangle (SOH CAH TOA). Ici, le cosinus est la clé de la première question.
• La définition de triangles semblables : deux triangles sont semblables si leurs angles sont égaux deux à deux.
• La somme des angles d'un triangle (toujours égale à 180°) et la notion d'angle plat pour des points alignés.
• Le coefficient de réduction/agrandissement, qui correspond au rapport des longueurs des côtés homologues.

Correction détaillée

1. Mesure de l'angle $\widehat{TSR}$ :
Dans le triangle TSR rectangle en T, on connaît l'hypoténuse $RS = 28$ cm et le côté adjacent $TS = 14$ cm. On utilise le cosinus :
$\cos(\widehat{TSR}) = \frac{TS}{RS} = \frac{14}{28} = 0,5$.
À l'aide de la calculatrice (touche $arccos$ ou $\cos^{-1}$), on trouve $\widehat{TSR} = 60^\circ$.

2. Triangles semblables :
Dans le triangle TSR, $\widehat{STR} = 90^\circ$ et $\widehat{TSR} = 60^\circ$. Donc $\widehat{SRT} = 180 - (90 + 60) = 30^\circ$.
Dans le triangle SUP rectangle en P, $\widehat{SUP} = 30^\circ$ et $\widehat{SPU} = 90^\circ$. Donc $\widehat{PSU} = 180 - (90 + 30) = 60^\circ$.
Les triangles SRT et SUP ont leurs angles égaux deux à deux (90°, 60° et 30°), ils sont donc semblables.

3. Coefficient de réduction :
Le coefficient $k$ est le rapport des côtés homologues. On compare les côtés adjacents à l'angle de 60° dans chaque triangle : $k = \frac{SP}{TS} = \frac{10,5}{14} = 0,75$. Le coefficient est de 0,75.

4. Calcul de SU :
SU est l'hypoténuse du triangle SUP, homologue à RS. Ainsi, $SU = RS \times k = 28 \times 0,75 = 21$ cm.

5. Nature du triangle SKL :
Les points T, S et P sont alignés, donc $\widehat{TSP} = 180^\circ$. On a $\widehat{KSL} = 180 - (\widehat{TSR} + \widehat{USP}) = 180 - (60 + 60) = 60^\circ$.
On donne $\widehat{SKL} = 60^\circ$.
La somme des angles dans le triangle SKL étant de 180°, l'angle $\widehat{SLK} = 180 - (60 + 60) = 60^\circ$.
Le triangle SKL possède trois angles de 60°, c'est donc un triangle équilatéral.