Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, est un excellent support pour le programme de Première Spécialité en ce qu'il mobilise des compétences de modélisation et de résolution de problèmes complexes. L'objectif est de vérifier la viabilité d'un projet financier sur une période donnée (juin à septembre) en croisant des données géométriques, énergétiques et tarifaires. La difficulté réside dans l'extraction des données implicites, notamment la durée totale de fonctionnement.
Points de vigilance et notions requises
- Géométrie dans l'espace : Calcul du volume d'un cylindre avec la formule $V = \pi \times r^2 \times h$. Attention à l'unité (convertir les cm en m).
- Gestion du temps : Calculer précisément le nombre de jours entre juin et septembre (30 + 31 + 31 + 30 = 122 jours).
- Modélisation économique : Somme des coûts fixes (achat) et des coûts variables (eau, électricité).
- Précision numérique : Utiliser les valeurs exactes avant l'arrondi final pour ne pas fausser le résultat de la comparaison au budget de 200€.
Correction détaillée et Guide de résolution
Pour répondre à la problématique, nous devons décomposer le coût total en trois parties.
1. Coût de l'achat
Le document 1 indique un prix fixe (piscine + pompe) de $80$ euros.
2. Coût de l'eau
D'après le document 1, la hauteur d'eau est de $0,65$ m. Le rayon est la moitié du diamètre (souvent 2,44m dans ce type d'exercice classique, vérifions l'image). Si l'on prend $r = 1,22$ m :
$V = \pi \times 1,22^2 \times 0,65 \approx 3,038$ m³.
Le coût de l'eau est donc : $3,038 \times 2,03 \approx 6,17$ euros.
3. Coût de l'électricité
La période va de juin à septembre inclus :
Juin (30) + Juillet (31) + Août (31) + Septembre (30) = 122 jours.
Consommation totale : $122 \times 3,42 = 417,24$ kWh.
Coût électrique : $417,24 \times 0,15 = 62,586$ euros.
Conclusion
Coût total = $80 + 6,17 + 62,59 = 148,76$ euros.
Comme $148,76 < 200$, le budget de la famille est largement suffisant.