Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, mobilise des compétences fondamentales pour la classe de Première Spécialité : la lecture d'algorithmes (ici sous forme de blocs Scratch), la traduction de ces algorithmes en expressions algébriques et la résolution d'équations du premier degré. L'objectif est de comparer deux processus de calcul différents et d'identifier le point de convergence où leurs sorties sont identiques.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs notions sont essentielles :
- La priorité des opérations : Lors de la traduction d'un bloc 'multiplier par 2' s'appliquant à une somme, les parenthèses sont indispensables en mathématiques : $2 \times (x + 5)$.
- Le concept de variable : Comprendre que la variable 'x' dans le script est modifiée de manière séquentielle (affectation).
- Modélisation : Savoir passer du langage naturel ou graphique à une fonction affine de type $f(x) = ax + b$.
Correction détaillée
1. Vérification pour le nombre 7 :
- Lutin 1 : $(7 + 5) \times 2 - 7 = 12 \times 2 - 7 = 24 - 7 = 17$.
- Lutin 2 : $7 \times 7 - 8 = 49 - 8 = 41$.
2. Calcul pour le nombre -4 avec le Lutin 2 :
$7 \times (-4) - 8 = -28 - 8 = -36$. Le lutin affiche donc -36.
3. Modélisation algébrique du Lutin 1 :
- Instruction 3 : La valeur devient $x + 5$.
- Instruction 4 : La valeur devient $(x + 5) \times 2 = 2x + 10$.
- Instruction 5 : On retranche le nombre de départ, soit $(2x + 10) - x$.
- Simplification : $2x - x + 10 = x + 10$.
4. Optimisation du script :
Puisque le programme revient à calculer $x + 10$, on peut supprimer les instructions 3, 4 et 5 et les remplacer par le bloc proposé par Célia.
5. Recherche de l'égalité :
Nous cherchons $x$ tel que le résultat du Lutin 1 soit égal à celui du Lutin 2. Cela revient à résoudre l'équation :
$x + 10 = 7x - 8$
$10 + 8 = 7x - x$
$18 = 6x$
$x = 18 / 6 = 3$.
Paul a donc saisi le nombre 3.