Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, constitue une excellente base de révision pour le programme de mathématiques de Première Spécialité. Il permet de manipuler les concepts fondamentaux de l'univers des possibles, de l'équiprobabilité et des opérations sur les événements. L'énoncé nous présente une situation de tirage aléatoire dans une urne (ou boîte) contenant des carreaux de différentes couleurs. La clé de la résolution réside dans le calcul correct de l'effectif total et l'application stricte de la loi de Laplace.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice en classe de Première, plusieurs notions doivent être parfaitement maîtrisées :

• L'effectif total : Avant tout calcul de probabilité, il est impératif de sommer tous les éléments de l'ensemble de référence (l'univers $\Omega$).
• L'équiprobabilité : La mention « tous les carreaux ont la même chance d'être choisis » justifie l'utilisation de la formule $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues totales}}$.
• L'événement contraire : Savoir utiliser la relation $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ pour gagner en efficacité, notamment pour la question sur les carreaux violets.
• La réunion d'événements disjoints : Puisqu'un carreau ne peut pas être de deux couleurs à la fois, les événements sont incompatibles. La probabilité de la réunion est donc la somme des probabilités.

Correction détaillée

1. Probabilité de choisir un carreau vert :

Calculons d'abord le nombre total de carreaux : $N = 22 + 2 + 162 + 110 = 296$.
Il y a 110 carreaux verts. La probabilité est donc :
$P(\text{Vert}) = \frac{110}{296} = \frac{55}{148} \approx 0,372$.

2. Probabilité de ne pas choisir un carreau violet :

Il s'agit de l'événement contraire de « choisir un carreau violet ».
Probabilité de violet : $P(V) = \frac{22}{296} = \frac{11}{148}$.
La probabilité cherchée est $P(\bar{V}) = 1 - \frac{11}{148} = \frac{137}{148} \approx 0,926$.

3. Probabilité que le carreau soit noir ou blanc :

Les événements « Noir » et « Blanc » sont incompatibles. On additionne leurs effectifs : $162 + 2 = 164$.
$P(N \cup B) = \frac{164}{296} = \frac{41}{74} \approx 0,554$.

4. Calcul de pourcentage :

On cherche $75\%$ de l'effectif total.
Nombre de carreaux collés = $296 \times 0,75 = 222$.
Hugo a donc collé 222 carreaux en une journée.