Analyse de l'énoncé : Application concrète de la trigonométrie

Cet exercice, extrait du sujet Antilles 2019, propose une mise en situation réelle autour de la Tour Eiffel. Bien que classé initialement au niveau fin de collège, il constitue une excellente base de révision pour les élèves de Première Spécialité souhaitant consolider leurs acquis fondamentaux en trigonométrie et en configuration de Thalès. La problématique repose sur l'exploitation d'un triangle rectangle ABH, où les dimensions du monument et la position de l'observateur sont connues, pour en déduire des angles et des rapports de proportionnalité.

Points de vigilance et notions de cours requises

Pour résoudre cet exercice avec succès, plusieurs compétences clés de géométrie plane sont mobilisées :

• La définition de la tangente : Dans un triangle rectangle, le rapport du côté opposé sur le côté adjacent est une constante pour un angle donné.
• L'utilisation de la calculatrice : Il est crucial de savoir passer du rapport trigonométrique à l'angle en utilisant la fonction réciproque $\arctan$ (ou $\tan^{-1}$), tout en s'assurant que l'appareil est bien réglé en mode Degrés.
• Le théorème de Thalès : La situation de Leila sur la photo crée une configuration de triangles semblables (emboîtés). L'alignement des points A, L, B et A, L', H permet d'utiliser la proportionnalité des longueurs.
• La gestion des arrondis : Le sujet impose une précision spécifique (au degré près pour l'angle, au centimètre près pour la distance). Une erreur d'arrondi peut coûter des points précieux.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Calcul de la mesure de l'angle $\widehat{\text{HAB}}$
Le triangle ABH est rectangle en B (le monument est considéré perpendiculaire au sol horizontal). Par définition de la tangente dans ce triangle :
$\tan(\widehat{\text{HAB}}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{BH}{AB}$.
En remplaçant par les valeurs de l'énoncé : $\tan(\widehat{\text{HAB}}) = \frac{324}{600} = 0,54$.
En utilisant la touche $\text{arctan}$ de la calculatrice : $\widehat{\text{HAB}} = \arctan(0,54) \approx 28,369^\circ$.
La mesure de l'angle $\widehat{\text{HAB}}$, arrondie au degré près, est donc de 28°.

2. Calcul de la distance AL
Pour que Leila paraisse aussi grande que la Tour Eiffel sur la photo, le sommet de sa tête (notons-le L') doit se trouver sur le segment [AH]. La hauteur de Leila est représentée par le segment [LL'] de $1,70$ m, avec L situé sur le segment [AB]. Comme (LL') et (BH) sont toutes deux perpendiculaires à (AB), elles sont parallèles entre elles.
D'après le théorème de Thalès dans les triangles ALL' et ABH :
$\frac{AL}{AB} = \frac{LL'}{BH}$.
En isolant la longueur AL recherchée : $AL = \frac{LL' \times AB}{BH}$.
Numériquement : $AL = \frac{1,70 \times 600}{324} = \frac{1020}{324} \approx 3,1481...$ mètres.
Pour convertir en centimètres et arrondir correctement, on observe le troisième chiffre après la virgule : $3,15$ m.
La distance AL doit donc être d'environ 3,15 m (soit 315 cm).

Conclusion pédagogique

Cet exercice illustre parfaitement la notion d'homothétie et de conservation des angles. En Première Spécialité, ces concepts sont le socle nécessaire avant d'aborder les fonctions circulaires et la mesure d'angles en radians sur le cercle trigonométrique.