Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège (DNB), constitue une base de révision indispensable pour les élèves de Première Spécialité. En mathématiques, la maîtrise de la géométrie plane est le prérequis nécessaire pour aborder sereinement les chapitres sur le produit scalaire et la géométrie repérée. L'énoncé nous place dans une situation concrète : Thomas fait voler un cerf-volant. La difficulté principale réside dans la conversion des données textuelles (« 20 pas ») en distances métriques et dans l'identification correcte des configurations géométriques classiques (triangles emboîtés).
Points de vigilance et notions requises
Pour résoudre cet exercice, deux théorèmes majeurs sont sollicités. Tout d'abord, le théorème de Pythagore, qui permet de calculer une longueur dans un triangle rectangle lorsque l'on connaît les deux autres. Ensuite, le théorème de Thalès, utilisé pour calculer des longueurs dans des triangles en situation de proportionnalité (lignes parallèles). Un point de vigilance crucial en Première est la rédaction : il est impératif de justifier que les droites sont parallèles avant d'appliquer Thalès. Ici, (CH) et (EF) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (TF), ce qui garantit leur parallélisme.
Correction détaillée
1. Montrer que la hauteur CH est égale à 9 m :
- Calcul de la distance TH : Thomas fait 20 pas de 0,6 m chacun. Donc, $TH = 20 \times 0,6 = 12$ m.
- Dans le triangle TCH, rectangle en H (la hauteur est perpendiculaire au sol), d'après le théorème de Pythagore : $TC^2 = TH^2 + CH^2$.
- En remplaçant par les valeurs : $15^2 = 12^2 + CH^2$, soit $225 = 144 + CH^2$.
- On en déduit $CH^2 = 225 - 144 = 81$.
- Puisque CH est une longueur positive, $CH = \sqrt{81} = 9$ m. La hauteur est donc bien de 9 mètres.
2. Calculer la longueur TE de la corde :
- On sait que les points T, C, E sont alignés et que T, H, F le sont également.
- Les droites (CH) et (EF) sont perpendiculaires à la même droite (TF), elles sont donc parallèles : $(CH) // (EF)$.
- D'après le théorème de Thalès, nous avons l'égalité des rapports : $\frac{TC}{TE} = rac{TH}{TF} = rac{CH}{EF}$.
- Nous utilisons le rapport $\frac{TC}{TE} = \frac{CH}{EF}$, soit $\frac{15}{TE} = \frac{9}{13,5}$.
- Par un produit en croix, on obtient : $TE = \frac{15 \times 13,5}{9} = \frac{202,5}{9} = 22,5$ m.
La longueur de la corde nécessaire pour atteindre cette hauteur est donc de 22,5 mètres.
Ouverture vers le programme de Première
En Première Spécialité, cet exercice pourrait être résolu via la trigonométrie. En calculant l'angle $\widehat{CTH}$ dans le triangle rectangle TCH (via le cosinus ou le sinus), on pourrait ensuite utiliser cet angle dans le triangle TEF pour trouver l'hypoténuse TE. Cette approche par les rapports trigonométriques est au cœur de l'étude des fonctions circulaires et des coordonnées polaires.