Analyse de l'énoncé et enjeux de modélisation
L'exercice 7 du sujet de Nouvelle-Calédonie 2019, bien qu'accessible, constitue un excellent support pour travailler la modélisation mathématique, une compétence centrale du programme de Première Spécialité. La problématique consiste à transformer un objet biologique complexe (un crâne humain) en un objet géométrique parfait (une sphère) pour réaliser des estimations quantitatives. Ce processus d'abstraction est essentiel pour aborder des problèmes plus complexes en sciences physiques ou en ingénierie.
Points de vigilance et notions de cours requises
Pour aborder sereinement cette résolution, plusieurs notions doivent être maîtrisées :
- Manipulation des formules de géométrie : Il faut savoir passer du périmètre d'un cercle à son rayon en isolant la variable $R$.
- Calcul d'aires : La distinction entre le périmètre (en cm) et l'aire (en cm²) est cruciale. L'élève doit appliquer correctement la formule de l'aire d'une sphère fournie dans l'énoncé.
- Proportionnalité : L'exercice demande de prendre en compte une fraction de la surface totale (la moitié) et d'appliquer un coefficient de densité (nombre de cheveux par unité de surface).
Correction détaillée et guide de résolution
1. Montrer que le rayon $R$ est d'environ 9 cm
Le tour de tête correspond au périmètre $\mathcal{P}$ du grand cercle de la sphère. On sait que $\mathcal{P} = 2\pi R$. L'énoncé nous donne $\mathcal{P} = 56$ cm. On cherche donc $R$ tel que :
$56 = 2\pi R \implies R = \frac{56}{2\pi}$.
À la calculatrice : $R \approx \frac{56}{6,283} \approx 8,912$ cm.
La valeur est donc bien proche de 9 cm, ce qui valide la première question.
2. Estimer le nombre de cheveux de Guillaume
La résolution suit une démarche logique en plusieurs étapes :
- Étape 1 : Calcul de l'aire totale de la sphère. En utilisant la valeur de $R$ trouvée précédemment (ou l'approximation 9 cm), on calcule $\mathcal{A} = 4\pi R^2$.
$\mathcal{A} = 4 \times \pi \times 8,912^2 \approx 998,1$ cm². - Étape 2 : Calcul de la surface occupée par les cheveux. Guillaume estime que ses cheveux couvrent la moitié de la surface. On divise donc l'aire par 2 :
$S_{cheveux} = \frac{998,1}{2} \approx 499$ cm². - Étape 3 : Estimation finale. On multiplie cette surface par la densité de cheveux (250 cheveux/cm²) :
$N = 499 \times 250 = 124\,750$.
On peut conclure que Guillaume a environ 125 000 cheveux. En mathématiques de spécialité, il est important de noter que l'utilisation de la valeur arrondie $R=9$ donnerait un résultat légèrement différent (environ 127 234 cheveux), illustrant l'impact des arrondis dans une chaîne de calculs.
Importance de la rédaction
Dans ce type d'exercice, le raisonnement et la clarté de la démarche sont tout aussi importants que le résultat final. Citer les formules utilisées et préciser les unités à chaque étape permet de structurer une réponse rigoureuse, indispensable pour obtenir le maximum de points lors des évaluations de spécialité.