Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'extrait d'un sujet de fin de collège, constitue une excellente introduction aux thématiques de la Première Spécialité Mathématiques, notamment pour le chapitre sur l'Algorithmie et les Suites numériques. Le problème oppose un coût variable linéaire (le prix des séances de sport) à un coût fixe (l'achat d'un équipement). Cette situation de comparaison est un classique de la modélisation mathématique.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences clés sont mobilisées :

• Modélisation arithmétique : Savoir traduire un énoncé concret en calculs mathématiques simples (2 séances à 15€ = 30€ par semaine).
• Lecture d'algorithme : Comprendre la structure d'une boucle. Ici, il s'agit d'une structure 'répéter jusqu'à', qui est l'équivalent logique de la boucle 'tant que' utilisée en Python, à la différence près que la condition d'arrêt est l'inverse de la condition de maintien.
• Résolution d'inéquation : Déterminer un seuil de rentabilité en isolant l'inconnue.

Correction détaillée

1. Calcul du coût pour 10 semaines :
La personne effectue 2 séances par semaine au tarif de 15 € l'unité. Le coût hebdomadaire est donc de $2 \times 15 = 30$ €. Pour une période de 10 semaines, la dépense totale s'élève à $10 \times 30 = 300$ €.

2. Interprétation de l'algorithme Scratch :
L'algorithme initialise une variable $x$ (représentant le nombre de semaines) à 0. Il entre ensuite dans une boucle qui multiplie le nombre de semaines par le coût hebdomadaire ($x \times 2 \times 15$) et compare ce résultat au prix d'achat du vélo (999 €). La boucle s'arrête dès que le coût cumulé des séances dépasse 999 €. La valeur affichée à la fin est donc le nombre de semaines nécessaire pour que l'achat du vélo soit plus rentable que le paiement des séances individuelles.

3. Détermination de la rentabilité :
Mathématiquement, nous cherchons le plus petit entier $x$ tel que :
$30x > 999$
$x > \frac{999}{30}$
$x > 33,3$
Le vélo est donc rentabilisé à partir de la 34ème semaine.

Ouverture vers le programme de Première

En spécialité mathématiques, cet exercice peut être complexifié en utilisant une suite arithmétique $(u_n)$ où $u_n = 30n$. On demanderait alors de programmer ce seuil en Python avec une boucle while :
x = 0
while 30 * x <= 999:
    x += 1. C'est un excellent entraînement pour maîtriser les sorties de boucles et les conditions de seuil.