Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, mobilise des compétences fondamentales indispensables en Première Spécialité : la gestion des unités, la modélisation proportionnelle et l'analyse de données statistiques avec calcul de taux d'évolution. L'aspect pluridisciplinaire (biologie et mathématiques) demande une lecture attentive pour ne pas confondre les différentes grandeurs (masse, volume, capacité).
Points de vigilance et notions requises
- Les conversions d'unités : C'est le piège principal. Pour calculer un volume, toutes les dimensions doivent être dans la même unité (mm ou cm). De plus, la conversion entre litres et unités de volume cubiques ($1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$) doit être parfaitement maîtrisée.
- La proportionnalité : Savoir passer d'une échelle microscopique (l'abeille) à une échelle humaine en conservant les rapports de masse.
- Taux d'évolution : La formule $\frac{V_f - V_i}{V_i}$ est un socle du programme de Première pour l'étude des suites et des fonctions.
Guide de résolution détaillé
1. Proportionnalité de la charge
L'abeille transporte $80 \text{ mg}$ pour une masse de $100 \text{ mg}$. Le rapport de charge est donc de $80/100 = 0,8$ (soit 80% de sa masse). Pour un homme de $75 \text{ kg}$, la masse transportée serait de $75 \times 0,8 = 60 \text{ kg}$.
2. Géométrie et Volume de l'alvéole
La hauteur est donnée en cm ($1,15 \text{ cm}$) et l'aire en $\text{mm}^2$ ($23 \text{ mm}^2$).
Étape 1 : Convertir la hauteur : $1,15 \text{ cm} = 11,5 \text{ mm}$.
Étape 2 : Calculer le volume : $V = \text{Aire} \times \text{Hauteur} = 23 \times 11,5 = 264,5 \text{ mm}^3$.
3. Capacité du jabot et rotations
Le jabot a un volume de $6 \times 10^{-5} \text{ L}$. Or, $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1,000,000 \text{ mm}^3$.
Donc $6 \times 10^{-5} \text{ L} = 6 \times 10^{-5} \times 10^6 \text{ mm}^3 = 60 \text{ mm}^3$.
Nombre de voyages : $264,5 / 60 \approx 4,41$. L'abeille doit donc effectuer au minimum 5 sorties.
4. Statistiques et Évolution
Pour 2016, on somme les valeurs du graphique : $3965 + 1869 + 4556 + 5709 = 16099$ tonnes.
Le taux d'évolution entre 2015 ($24224$ t) et 2016 est :
$\frac{16099 - 24224}{24224} \approx -0,335$, soit une baisse de environ $33,5 \%$.