Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, extrait du sujet Amérique du Sud 2018, est un classique de la modélisation mathématique. Bien qu'il repose sur des bases de calcul littéral, il constitue un excellent entraînement pour les élèves de Première Spécialité. Il permet de travailler la transition cruciale entre le langage naturel (consignes de calcul) et le langage symbolique (expressions algébriques). En Spécialité Mathématiques, savoir manipuler des expressions et prouver l'équivalence de deux fonctions est une compétence fondamentale pour l'étude des fonctions polynômes et de la dérivation.
Points de vigilance : Notions de cours requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs points techniques doivent être maîtrisés :
- La distributivité : Lors de la traduction du programme 1, le facteur 4 doit s'appliquer à l'ensemble de la différence précédente. Cela nécessite l'utilisation rigoureuse de parenthèses : \( 4 \times (x - 5) \).
- La syntaxe du tableur : Une erreur fréquente consiste à oublier le signe "=" en début de cellule ou à mal utiliser les références de cellules (ici la cellule A2 contient la variable d'entrée).
- La distinction entre vérification et démonstration : Tester un nombre (comme 3 ou -2) permet de confirmer une intuition ou d'infirmer une égalité, mais seule une démonstration avec une variable \( x \) permet de prouver une propriété générale.
Correction détaillée de l'exercice
1. Application numérique (Calculs de base)
a) Programme 1 avec 3 : On effectue \( 3 - 5 = -2 \). Puis on multiplie par 4 : \( -2 \times 4 = -8 \). Le résultat est -8.
b) Programme 2 avec 3 : On multiplie par 6 : \( 3 \times 6 = 18 \). On soustrait 20 : \( 18 - 20 = -2 \). Enfin, on soustrait le double du nombre de départ (\( 2 \times 3 = 6 \)) : \( -2 - 6 = -8 \). On constate que pour 3, les deux programmes sont égaux.
2. Vérification avec un nombre négatif
Soit le nombre -2 :
- Programme 1 : \( (-2 - 5) \times 4 = -7 \times 4 = -28 \).
- Programme 2 : \( 6 \times (-2) - 20 - 2 \times (-2) = -12 - 20 + 4 = -32 + 4 = -28 \).
Les deux programmes renvoient bien le même résultat (-28).
3. Utilisation du tableur
Dans la cellule B2, pour calculer le résultat du Programme 1 à partir du nombre situé en A2, on saisit la formule : =(A2-5)*4. Cette formule est ensuite étirée vers le bas, transformant A2 en A3, A4, etc., pour les lignes suivantes.
4. Démonstration générale
Soit \( x \) le nombre choisi au départ. Exprimons les résultats en fonction de \( x \) :
- Programme 1 : \( P_1(x) = (x - 5) \times 4 = 4x - 20 \).
- Programme 2 : \( P_2(x) = 6x - 20 - 2x \). En regroupant les termes en \( x \), on obtient : \( P_2(x) = (6 - 2)x - 20 = 4x - 20 \).
On observe que pour tout nombre réel \( x \), \( P_1(x) = P_2(x) \). Lucie a donc raison : les deux programmes sont strictement équivalents.
Conclusion et perspectives
Cet exercice illustre parfaitement comment un problème complexe peut être réduit à une simple égalité de fonctions affines. En Première Spécialité, savoir que deux expressions différentes peuvent représenter la même fonction est essentiel, notamment pour simplifier des calculs de dérivées ou résoudre des équations du second degré.