Introduction aux notions de géométrie plane et de gestion de projet
Cet exercice issu du sujet de Brevet 2026 (Métropole) est une excellente synthèse des compétences attendues en fin de cycle 4. Il mobilise des connaissances en géométrie plane, notamment le théorème de Pythagore, le calcul de périmètre avec une contrainte réelle (une ouverture de portail), le calcul d'aire d'un rectangle et, enfin, une situation de proportionnalité liée à un budget commercial. L'élève doit être capable de passer d'un schéma non à l'échelle à une modélisation mathématique rigoureuse. Les thèmes centraux sont l'extraction d'informations depuis un document technique et la structuration d'un raisonnement en plusieurs étapes.
Analyse Méthodique de l'Exercice
1. Justification de la longueur TM
Pour justifier que la longueur \(TM\) est égale à \(9\) m, il faut observer les segments horizontaux du schéma. On nous donne la longueur totale du haut du terrain \(SM = 36\) m. On sait aussi que \(STVU\) est un rectangle (ou du moins que la base \(UV\) mesure \(27\) m et que les angles sont droits, ce qui implique \(ST = UV = 27\) m). Par soustraction de segments, on obtient : \(TM = SM - ST = 36 - 27 = 9\) m. Il est crucial ici de bien citer les points alignés \(S, T\) et \(M\) pour justifier l'opération de soustraction.
2. Calcul de la longueur MV (Théorème de Pythagore)
La question demande de montrer que \(MV = 15\) m. Le triangle \(TMV\) est rectangle en \(T\) car \(STVU\) est un rectangle. On connaît déjà \(TM = 9\) m. La largeur du terrain est donnée par le côté \(SU = 12\) m, ce qui signifie que \(TV = 12\) m également. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle \(TMV\) rectangle en \(T\) :
\(MV^2 = TM^2 + TV^2\)
\(MV^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\).
En calculant la racine carrée, on trouve \(\sqrt{225} = 15\) m. Attention : N'oubliez pas de bien rédiger l'énoncé du théorème et de préciser l'unité finale.
3. Calcul de la longueur de grillage nécessaire
La clôture fait le tour du terrain total \(SMVU\), mais attention au piège de l'énoncé ! Il faut soustraire l'ouverture de \(3\) m prévue pour le portail sur le segment \([UV]\).
Calcul du périmètre extérieur : \(P = SM + MV + VU + US\)
\(P = 36 + 15 + 27 + 12 = 90\) m.
Longueur de grillage = \(90 - 3 = 87\) m. La difficulté ici réside dans la lecture attentive des consignes concernant le portail.
4. Aire de la surface de gazon
On nous demande de confirmer que l'aire du rectangle \(STVU\) est de \(324\) m². La formule de l'aire d'un rectangle est \(Longueur \times largeur\).
Ici, \(Aire = ST \times TV = 27 \times 12 = 324\) m². Le résultat est bien conforme à l'énoncé. Cette question sert de base pour la partie budgétaire suivante.
5. Analyse du budget gazon
C'est la question la plus dense qui demande une démarche en trois étapes :
Étape A : Aire d'un rouleau. Un rouleau mesure \(4\) m sur \(2\) m, soit une surface de \(8\) m² par rouleau.
Étape B : Nombre de rouleaux. On divise la surface totale par la surface d'un rouleau : \(324 / 8 = 40,5\). Comme on ne peut pas acheter de demi-rouleau dans un contexte réel (sauf précision contraire), il faut en acheter \(41\).
Étape C : Coût total. \(41 \times 86 = 3526\) euros.
Conclusion : Le budget de \(3500\) euros est insuffisant puisqu'il manque \(26\) euros.
Les Pièges à Éviter
- L'oubli de l'unité : Dans un exercice de géométrie appliquée, ne jamais oublier d'écrire 'm' ou 'm²'.
- L'arrondi du nombre de rouleaux : C'est l'erreur la plus fréquente. Si vous trouvez \(40,5\), vous devez arrondir à l'entier supérieur (\(41\)) car avec \(40\) rouleaux, il restera une zone de terre non couverte.
- La confusion périmètre/aire : Bien vérifier si l'on parle du tour du terrain (grillage) ou de la surface intérieure (gazon).
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points, soignez la présentation. Commencez chaque calcul par une phrase d'introduction (ex: "Calculons la longueur MV dans le triangle rectangle..."). Pour Pythagore, nommez explicitement le triangle et l'angle droit. Pour la question du budget, détaillez chaque opération et concluez par une phrase de réponse claire qui répond directement à la question posée : "Non, le budget n'est pas suffisant..."