Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu du sujet Métropole 2018, constitue une excellente base de révision pour les élèves de Première Spécialité. Bien que d'un niveau initial de fin de collège, il sollicite des compétences clés du programme de spécialité : l'utilisation rigoureuse de la trigonométrie, la démonstration par les triangles semblables (notion fondamentale pour aborder le produit scalaire et les homothéties) et le raisonnement déductif.
Points de vigilance et notions requises
- Théorème de Pythagore : Savoir l'appliquer pour calculer une longueur manquante dans un triangle rectangle.
- Triangles semblables : Comprendre que deux triangles sont semblables si les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.
- Réciproque du théorème de Pythagore : Utilisée ici pour vérifier la nature d'un angle.
- Trigonométrie : Utilisation de la calculatrice pour déterminer la mesure d'un angle à partir de ses côtés (arctangente).
Correction détaillée
1. Calcul de la longueur BD :
Le triangle $BDC$ est rectangle en $B$. D'après le théorème de Pythagore : $CD^2 = BC^2 + BD^2$.
Soit $8,5^2 = 7,5^2 + BD^2$, d'où $72,25 = 56,25 + BD^2$.
$BD^2 = 72,25 - 56,25 = 16$.
La longueur $BD$ est donc $\sqrt{16} = 4$ cm.
2. Triangles semblables :
Comparons les rapports des côtés homologues des triangles $CBD$ et $BFE$ (du plus petit au plus grand) :
- Côtés courts : $\frac{FE}{BD} = \frac{3,2}{4} = 0,8$
- Côtés moyens : $\frac{BF}{BC} = \frac{6}{7,5} = 0,8$
- Hypoténuses/Côtés longs : $\frac{BE}{CD} = \frac{6,8}{8,5} = 0,8$
Les rapports sont égaux, donc les triangles $CBD$ et $BFE$ sont semblables.
3. L'angle $\widehat{BFE}$ est-il droit ?
Puisque les triangles $CBD$ et $BFE$ sont semblables, leurs angles sont égaux deux à deux. L'angle $\widehat{CBD}$ est un angle droit ($90^{\circ}$). Son homologue dans le triangle $BFE$ (opposé au plus grand côté $BE$) est l'angle $\widehat{BFE}$. Par conséquent, $\widehat{BFE} = 90^{\circ}$. Sophie a raison.
4. L'angle $\widehat{ACD}$ est-il droit ?
$\widehat{ACD} = \widehat{ACB} + \widehat{BCD}$.
On sait que $\widehat{ACB} = 61^{\circ}$.
Dans le triangle $BCD$ rectangle en $B$ : $\tan(\widehat{BCD}) = \frac{BD}{BC} = \frac{4}{7,5}$.
D'où $\widehat{BCD} = \arctan(\frac{4}{7,5}) \approx 28,07^{\circ}$.
Ainsi, $\widehat{ACD} \approx 61 + 28,07 = 89,07^{\circ}$.
L'angle n'est pas droit, Max a tort.