Analyse de l'énoncé : La modélisation au cœur du problème
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, constitue une excellente introduction à la modélisation mathématique étudiée en Première Spécialité. L'objectif est de transformer une situation géométrique concrète (la construction d'un garage) en un modèle algébrique permettant de répondre à une contrainte de surface. On nous présente un polygone hachuré qui représente la vue de profil ou en plan du garage, dont une dimension est variable.
Identification des figures usuelles
Pour calculer l'aire de la partie hachurée, deux stratégies sont possibles :
- La décomposition : On peut voir le garage comme l'assemblage d'un rectangle de base $3$ m et de hauteur $x$ (la longueur inconnue), surmonté d'un triangle rectangle de base $3$ m et de hauteur $1,6$ m.
- La formule globale : On peut identifier un trapèze rectangle de bases $x$ et $(x + 1,6)$ avec une hauteur de $3$ m.
Ces deux méthodes mènent au même résultat, mais la décomposition est souvent plus intuitive pour les élèves. En Première, savoir passer d'un schéma à une expression de fonction est une compétence clé du chapitre sur les polynômes de degré 1 (fonctions affines).
Guide de résolution pas à pas
1. Expression de l'aire en fonction de $x$ :
Si l'on utilise la décomposition, l'aire du rectangle est $A_1 = 3 \times x$ et l'aire du triangle supérieur est $A_2 = \frac{3 \times 1,6}{2} = 2,4$.
L'aire totale du garage est donc exprimée par la fonction affine $f(x) = 3x + 2,4$.
2. Mise en équation de la contrainte :
La surface ne doit pas dépasser $20$ m². Mathématiquement, cela se traduit par l'inéquation :
$3x + 2,4 \leq 20$.
3. Résolution de l'inéquation :
On isole $x$ :
$3x \leq 20 - 2,4$
$3x \leq 17,6$
$x \leq \frac{17,6}{3}$.
4. Interprétation du résultat :
Le calcul donne $x \leq 5,866...$. En situation réelle, on arrondit souvent par défaut pour respecter la contrainte. La valeur maximale que Paul peut choisir pour la longueur variable est donc d'environ $5,86$ mètres.
Points de vigilance et conseils
Il est crucial de ne pas confondre le périmètre et l'aire, une erreur classique dans ce type d'énoncé. De plus, faites attention aux unités : ici tout est en mètres, donc l'aire obtenue est bien en mètres carrés. En classe de Première, cet exercice peut être complexifié en introduisant une fonction de coût liée à la surface, menant alors à une étude de fonction plus complète ou à l'utilisation de la dérivation pour l'optimisation.