Analyse approfondie de l'énoncé
Cet exercice, initialement issu d'un sujet de brevet, constitue un excellent support de révision pour un élève de Première Spécialité. Il permet de travailler la modélisation linéaire, une compétence transversale indispensable pour aborder les suites arithmétiques, la dérivation (vitesse instantanée) et l'étude des fonctions polynômes du premier degré.
Points de vigilance et notions requises
- Modélisation Affine : Il faut reconnaître qu'une diminution constante de la vitesse traduit une fonction de la forme $f(x) = ax + b$. Ici, $a = -0,214$ (coefficient directeur négatif traduisant la décélération) et $b = 20$ (ordonnée à l'origine).
- Lecture d'axes : Une erreur classique consiste à confondre les variables. L'axe des abscisses représente le temps $t$, tandis que l'axe des ordonnées représente la vitesse $V(t)$.
- Unités temporelles : La gestion du temps est cruciale. À la question 2b, le temps donné est "une minute et vingt secondes". Il doit impérativement être converti en secondes ($1 \times 60 + 20 = 80$ s) pour être exploité sur le graphique ou dans la formule.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Justification de la non-proportionnalité : Bien que la représentation soit une droite, celle-ci ne passe pas par l'origine du repère $(0,0)$. À $t=0$, la vitesse est de $20$ tours/s. Ce n'est donc pas une fonction linéaire ($ax$), mais une fonction affine ($ax+b$). Il n'y a pas proportionnalité entre le temps et la vitesse.
2. Interprétation graphique :
- La vitesse initiale est l'ordonnée au point d'abscisse $0$ : 20 tours/s.
- À $t=80$ s, on lit sur la droite une vitesse d'environ 3 tours/s.
- L'arrêt correspond à $V=0$. Le point d'intersection avec l'axe des abscisses se situe graphiquement à environ 94 s.
3. Approche algébrique :
Pour $t=30$, on calcule $V(30) = -0,214 \times 30 + 20 = -6,42 + 20 = 13,58$ tours/s.
Pour déterminer l'instant exact de l'arrêt, on résout l'équation $V(t) = 0$ :
$-0,214t + 20 = 0 \implies 0,214t = 20 \implies t = 20 / 0,214 \approx 93,46$ secondes.
Lien avec le programme de Première Spécialité
En classe de Première, on peut interpréter le coefficient $-0,214$ comme la dérivée de la fonction vitesse. Puisque $V(t)$ est un polynôme de degré 1, sa dérivée est constante ($V'(t) = -0,214$). Cela signifie que la décélération est uniforme, un concept clé en physique également. On peut aussi faire le lien avec les suites arithmétiques : si l'on observait la vitesse seconde après seconde, elle formerait une suite de raison $r = -0,214$.