Introduction aux notions de proportionnalité et de vitesse

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des Collèges 2018 en Polynésie française, est un excellent support pour réviser les thématiques de la proportionnalité et des grandeurs composées. En 3ème, la maîtrise des conversions de vitesse et de la lecture d'échelle est fondamentale. Ici, nous plongeons dans l'univers acoustique des baleines pour appliquer des concepts mathématiques concrets : vitesse de propagation du son dans l'eau, calculs de distances sur carte et comparaison de tailles par homothétie visuelle.

Analyse Méthodique : Question par Question

1. Conversion de vitesse : de m/s vers km/h

La première question demande de convertir une vitesse exprimée en mètres par seconde ($\np{1500}~\text{m/s}$) en kilomètres par heure ($km/h$). C'est un classique de l'épreuve de mathématiques. Pour raisonner, il faut se souvenir qu'une heure comporte $3600$ secondes. Si le son parcourt $\np{1500}$ mètres en une seule seconde, il parcourra $3600$ fois plus de distance en une heure.
Calcul : $\np{1500} \times 3600 = \np{5400000}$ mètres par heure. Pour passer en kilomètres, on divise par $\np{1000}$, ce qui nous donne $\np{5400}~\text{km/h}$. Astuce : multiplier par $3,6$ permet de passer directement de $m/s$ à $km/h$.

2. Distance et temps de propagation en Alaska

La question 2 se divise en deux étapes cruciales faisant appel à la lecture d'échelle et à la formule de la vitesse.

2.a. Calcul de la distance réelle

Pour calculer la distance séparant les deux groupes de baleines, l'élève doit utiliser une règle graduée sur le document fourni (la carte de l'Alaska). Il s'agit d'établir un rapport de proportionnalité entre la distance mesurée en centimètres sur le papier et la distance réelle représentée par l'échelle graphique.
Supposons que $1~\text{cm}$ sur la carte corresponde à une valeur $X$ en km. On utilise le produit en croix (quatrième proportionnelle) pour trouver la distance réelle. L'énoncé impose un arrondi à $50$~km près. Si vous trouvez $\np{1428}$ km, le résultat attendu est $\np{1450}$ km.

2.b. Calcul de la durée du trajet sonore

Une fois la distance $d$ connue, on utilise la relation fondamentale $v = d / t$, d'où $t = d / v$. Attention à la cohérence des unités ! Si votre distance est en km et votre vitesse en km/h, le temps $t$ sera obtenu en heures. Pour répondre à la consigne d'arrondir à la minute près, il faudra multiplier la partie décimale de votre résultat par $60$. Par exemple, $0,25$ h correspond à $15$ minutes.

3. Estimation de la taille de la baleine bleue

Cette question évalue votre capacité à modéliser une situation réelle par la proportionnalité. Le plongeur sert d'étalon de mesure.
Méthode :

1. Mesurez à la règle la taille du plongeur sur le dessin ($h_{dessin}$).
2. Mesurez la longueur totale de la baleine sur le même dessin ($L_{dessin}$).
3. On sait que la taille réelle du plongeur est $1,75$~m.
4. Appliquez le produit en croix : $L_{réelle} = (L_{dessin} \times 1,75) / h_{dessin}$.

Les Pièges à éviter

Le piège principal réside dans les unités. Ne mélangez jamais des mètres et des kilomètres dans un même calcul sans conversion préalable. Un autre point de vigilance concerne les arrondis. L'examinateur vérifie si vous respectez les consignes : 'à 50 km près', 'à la minute', 'au mètre près'. Un résultat exact mais mal arrondi peut coûter des points. Enfin, l'énoncé précise que les 'traces de recherche seront valorisées' : même si vous n'êtes pas sûr du résultat final, écrivez vos mesures à la règle et vos tentatives de calcul sur votre copie.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Citez toujours la formule utilisée (ex: $v = d/t$).
2. Détaillez vos calculs de conversion.
3. Faites une phrase de conclusion claire avec l'unité correcte.
4. Pour la question 3, expliquez que vous utilisez un rapport de proportionnalité basé sur les mesures prises sur le schéma.