Introduction aux notions de Fonctions et Tableur

L'exercice 6 du Brevet de Mathématiques (Série Asie 2015) est un classique incontournable qui croise trois compétences majeures du programme de troisième : la manipulation de fonctions numériques (linéaires, affines et de degré 2), la maîtrise de l'outil tableur et la résolution d'équations. Dans cet exercice, nous étudions trois fonctions distinctes : $f(x) = 6x$ (fonction linéaire), $h(x) = 5x - 7$ (fonction affine) et $g(x) = 3x^2 - 9x - 7$ (fonction du second degré). L'objectif est de comprendre comment ces objets mathématiques interagissent au sein d'une grille de calcul et comment extraire des informations pertinentes pour résoudre des problèmes d'égalité.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Lecture directe dans le tableur : La première question demande de déterminer $h(-2)$. L'élève doit repérer la ligne correspondant à la fonction $h$ (ligne 4) et la colonne où $x = -2$ (colonne C). À l'intersection, on lit la valeur $-17$. Cette compétence teste la capacité à s'orienter dans un tableau de valeurs double entrée.

2. Vérification par le calcul : Pour montrer que $g(-3) = 47$, il faut substituer $x$ par $-3$ dans l'expression $g(x) = 3x^2 - 9x - 7$. Le raisonnement doit être rigoureux : $g(-3) = 3 \times (-3)^2 - 9 \times (-3) - 7$. Attention aux priorités opératoires ! On calcule d'abord le carré : $(-3)^2 = 9$. Ensuite les multiplications : $3 \times 9 = 27$ et $-9 \times (-3) = 27$. Enfin, on additionne : $27 + 27 - 7 = 54 - 7 = 47$. Ce calcul justifie la valeur présente dans la cellule B3.

3. Vocabulaire mathématique (Image et Antécédent) : L'égalité $g(-3) = 47$ peut se traduire de deux façons : 'L'image de $-3$ par la fonction $g$ est $47$' ou 'Un antécédent de $47$ par la fonction $g$ est $-3$'. Il est crucial de ne pas inverser ces deux termes. L'image est le résultat du calcul, l'antécédent est la valeur de départ.

4. Syntaxe de formule tableur : Pauline souhaite calculer $h(x)$ en étirant une formule. En cellule B4, pour $x = -3$ (situé en B1), elle doit saisir une formule commençant par le signe '='. La fonction étant $h(x) = 5x - 7$, la formule correcte est =5*B1-7. L'utilisation de l'astérisque pour la multiplication et l'absence d'espaces inutiles sont les standards attendus au Brevet.

5. Résolution d'équation via le tableur : L'équation $3x^2 - 9x - 7 = 5x - 7$ revient à chercher pour quelle valeur de $x$ on a $g(x) = h(x)$. En observant les lignes 3 et 4 du tableau, on remarque que pour $x = 0$ (colonne E), les deux fonctions renvoient la valeur $-7$. Ainsi, $0$ est une solution évidente.

Analyse Approfondie et Recherche de la Seconde Solution

La question 5b est discriminante. Elle demande si une autre solution existe. Pour le prouver, on peut simplifier l'équation : $3x^2 - 9x - 7 = 5x - 7 \Leftrightarrow 3x^2 - 14x = 0$. En factorisant par $x$, on obtient $x(3x - 14) = 0$. Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul. Soit $x = 0$, soit $3x - 14 = 0$, ce qui donne $x = 14/3$ (soit environ $4,67$). Comme cette valeur n'apparaît pas dans le tableau (qui s'arrête à $x=3$), l'élève doit faire preuve d'initiative. Toute trace de recherche, comme la soustraction des termes ou la tentative de factorisation, est valorisée par les correcteurs.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal réside dans les signes négatifs lors du calcul de $g(-3)$. Un carré est toujours positif : $(-3)^2$ devient $9$, et non $-9$. Un autre piège classique est l'oubli du signe '=' dans la formule du tableur, ce qui transformerait la cellule en simple texte. Enfin, ne vous limitez pas aux valeurs du tableau pour la question 5b ; les fonctions sont définies sur l'ensemble des réels, pas seulement sur les entiers affichés.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points :
1. Détaillez chaque étape de calcul, même les plus simples.
2. Pour le tableur, écrivez la formule exactement comme elle apparaîtrait sur un écran.
3. Utilisez des phrases de conclusion claires reprenant les termes de l'énoncé.
4. Si vous ne trouvez pas la solution exacte à la dernière question, notez vos essais (par exemple : 'Je cherche si les courbes se croisent plus loin'). Cette démarche scientifique est récompensée.