Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) issu du sujet DNB Asie 2015, dont les thématiques (développement, systèmes d'équations, puissances) constituent les socles indispensables pour réussir en Première Spécialité. Bien que d'un niveau initial de troisième, la maîtrise parfaite de ces automatismes est cruciale pour aborder sereinement les chapitres sur les Polynômes du second degré et les calculs algébriques complexes.

Points de vigilance et notions de cours

• Notation scientifique : Elle doit être de la forme $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$.
• Développement : Utilisation de la double distributivité $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$. Attention aux signes !
• Mise en équation : Traduire un problème concret par un système de deux équations à deux inconnues.
• Puissances : Distinction fondamentale entre $(-a)^n$ (le signe est compris dans la puissance) et $-a^n$.
• Géométrie dans l'espace : Une section de cylindre par un plan parallèle à son axe est un rectangle dont la hauteur est celle du cylindre et la largeur est une corde de la base (inférieure ou égale au diamètre).

Correction détaillée

Question 1 : Pour obtenir $5,87$, on décale la virgule de 8 rangs vers la gauche. La notation scientifique est donc $5,87 \times 10^8$. Réponse C.

Question 2 : Appliquons la double distributivité : $(x + 2)(3x - 1) = x \times 3x + x \times (-1) + 2 \times 3x + 2 \times (-1) = 3x^2 - x + 6x - 2 = 3x^2 + 5x - 2$. Réponse A.

Question 3 : Soit $x$ le nombre de motos et $y$ le nombre de voitures. On a le système :
1) $x + y = 28$
2) $2x + 4y = 80$
En multipliant (1) par 2 : $2x + 2y = 56$. En soustrayant cette ligne à (2), on obtient $2y = 24$, soit $y = 12$. Réponse C.

Question 4 : Le produit de 18 facteurs égaux à $-8$ s'écrit par définition $(-8)^{18}$. Notez que le résultat sera positif car l'exposant est pair. Réponse B.

Question 5 : La section est un rectangle. L'une des dimensions est la hauteur du cylindre (10 cm). L'autre dimension (la largeur) doit être inférieure ou égale au diamètre (4 cm). Seul le rectangle de $3 \text{ cm} \times 10 \text{ cm}$ est possible. Réponse A.