Analyse de l'énoncé et modélisation
Cet exercice, bien que provenant initialement d'un sujet de brevet, constitue une excellente introduction à la géométrie repérée et à la modélisation de problèmes physiques rencontrés en classe de Première Spécialité. La situation demande de déterminer si un objet rectangulaire (le réfrigérateur) peut passer d'une position inclinée à une position verticale dans un espace restreint (le camion) sans que sa base ne glisse.
D'un point de vue mathématique, le point A sert de centre de rotation. Lors du redressement, chaque point du réfrigérateur décrit un arc de cercle de centre A. La contrainte critique est la distance entre le point pivot A et le point le plus éloigné du meuble : le sommet opposé. Si le rayon de cet arc de cercle (la diagonale du rectangle) est supérieur à la hauteur du camion, le mouvement est impossible.
Points de vigilance et notions de cours
- Théorème de Pythagore : C'est l'outil fondamental ici. En Première, on peut également voir cela comme le calcul d'une norme de vecteur ou d'une distance entre deux points dans un repère orthonormé $(A, \vec{i}, \vec{j})$.
- Modélisation de la contrainte : Il faut comprendre que la hauteur maximale atteinte par le réfrigérateur durant la manœuvre correspond à la longueur de sa diagonale, et non à sa hauteur propre.
- Précision des calculs : L'utilisation de la racine carrée nécessite une valeur approchée précise pour conclure face à la hauteur du camion.
Guide de résolution détaillé
Pour résoudre ce problème, nous devons connaître les dimensions standards fournies dans le sujet original de 2018 (Hauteur du frigo $H = 198$ cm, largeur $L = 59$ cm, hauteur du camion $h = 202$ cm).
1. Calcul de la diagonale du réfrigérateur : On considère le triangle rectangle formé par les côtés du meuble. Soit $d$ la diagonale. D'après le théorème de Pythagore :
$d^2 = 198^2 + 59^2$
$d^2 = 39\,204 + 3\,481 = 42\,685$
$d = \sqrt{42\,685} \approx 206,6$ cm.
2. Comparaison avec l'espace disponible : La diagonale représente le point le plus haut atteint par le réfrigérateur lors de sa rotation autour du point A. On compare cette valeur à la hauteur du plafond du camion :
$206,6 \text{ cm} > 202 \text{ cm}$.
3. Conclusion : La diagonale est supérieure à la hauteur du camion. Allan ne pourra donc pas redresser le réfrigérateur en position verticale sans heurter le plafond, à moins de déplacer le point d'appui A (en le faisant glisser vers l'intérieur du camion pendant qu'il le redresse).