Analyse de l'énoncé : La modélisation au service du réel
Cet exercice, bien qu'issu initialement d'un sujet de fin de collège (DNB), constitue une excellente base de travail pour un élève de Première Spécialité en matière de modélisation. La problématique repose sur l'optimisation de ressources sous contraintes, un thème récurrent dans les chapitres d'algorithmie et d'étude de fonctions. L'objectif est ici de traduire un cahier des charges technique (normes d'agriculture biologique) en un système d'inéquations arithmétiques.
Points de vigilance : Unités et Interprétation des ratios
Pour réussir ce type d'exercice, il est crucial de ne pas confondre les deux types de contraintes imposées :
- La densité maximale (Partie couverte) : 6 poules/m². Ici, on multiplie la surface par la densité pour obtenir le nombre de poules.
- L'espace minimal (Partie plein air) : 4 m²/poule. Ici, on divise la surface totale par l'espace requis par unité pour trouver la capacité maximale.
Une erreur classique consiste à utiliser la même opération pour les deux zones sans analyser l'unité du ratio fourni.
Correction détaillée et Guide de résolution
1. Calcul de l'aire de la partie « plein air »
Le terrain est un rectangle de $110$ m sur $30$ m. L'aire totale $A_{totale}$ se calcule ainsi :
$A_{totale} = 110 \times 30 = 3300$ m².
Sachant que la partie couverte occupe une surface fixe de $150$ m², l'aire de la partie plein air est la différence entre l'aire totale et l'aire couverte :
$A_{plein air} = 3300 - 150 = 3150$ m².
2. Analyse de la faisabilité pour 800 poules
Nous devons vérifier si les deux contraintes sont respectées simultanément :
- Contrainte couverte : Pour 800 poules, il faudrait une surface minimale de $800 / 6 \approx 133,3$ m². Francis dispose de $150$ m², donc cette condition est validée.
- Contrainte plein air : Pour 800 poules, il faut au minimum $800 \times 4 = 3200$ m². Or, Francis ne dispose que de $3150$ m². La condition n'est pas respectée.
Conclusion : Francis ne peut pas élever 800 poules.
3. Calcul du nombre maximal de poules
Le nombre maximal de poules est limité par la contrainte la plus restrictive (le goulot d'étranglement) :
- Capacité max (couverte) : $150 \times 6 = 900$ poules.
- Capacité max (plein air) : $3150 / 4 = 787,5$ poules.
Le nombre de poules devant être un entier naturel, le maximum possible est de 787 poules.
Vers la spécialité : Algorithmique et Fonctions
En Première Spécialité, cet exercice pourrait être généralisé en définissant une fonction $f(x)$ représentant la capacité totale en fonction de la longueur $x$ de la séparation. On pourrait alors programmer un script Python pour tester différentes configurations de terrain et optimiser le rendement de l'exploitation.