Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2018, constitue une excellente introduction aux notions de fonctions polynômes du second degré et de logique algorithmique abordées en Première Spécialité. L'objectif est de traduire deux scripts Scratch parallèles en expressions littérales, puis de démontrer leur équivalence par le développement ou l'identification d'identités remarquables.

Points de vigilance et notions de cours

• Traduction de l'algorithme : Il faut suivre pas à pas l'évolution des variables. Dans le premier script, le résultat est mis au carré après l'addition, ce qui implique l'usage de parenthèses : $(2x+3)^2$.
• Identités remarquables : La reconnaissance de la forme $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ est ici cruciale pour faire le pont entre les deux scripts.
• Équations de produit nul : Pour résoudre $Résultat 2 = 9$, la factorisation est souvent plus efficace que le calcul du discriminant $\Delta$.

Guide de résolution détaillé

1. Calcul numérique pour $x = 3$ :

• Pour le Résultat 1 : $2 \times 3 + 3 = 9$, puis $9^2 = 81$.
• Pour le Résultat 2 : $4(3^2) + 12(3) + 9 = 4 \times 9 + 36 + 9 = 36 + 36 + 9 = 81$.

2. Généralisation (Expressions littérales) :

• Script 1 : $R1(x) = (2x + 3)^2$.
• Script 2 : $R2(x) = 4x^2 + 12x + 9$.
• On remarque que $R1(x) = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$, les deux expressions sont donc identiques.

3. Résolution de l'équation $R2 = 9$ :

On cherche $x$ tel que $4x^2 + 12x + 9 = 9$. En soustrayant 9 des deux côtés, on obtient : $4x^2 + 12x = 0$.

C'est une équation du second degré incomplète que l'on résout par factorisation par $4x$ : $4x(x + 3) = 0$. D'après la règle du produit nul : soit $4x = 0$ (donc $x = 0$), soit $x + 3 = 0$ (donc $x = -3$). Les nombres choisis par Alice pouvaient être 0 ou -3.