Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, mobilise des compétences fondamentales de la classe de Première Spécialité : la modélisation géométrique dans l'espace et l'utilisation de la trigonométrie pour résoudre des problèmes concrets. L'objectif est double : vérifier la conformité d'une pente (via un calcul d'angle) et établir un devis financier basé sur un calcul de volume et des contraintes logistiques.
Points de vigilance et notions requises
- Trigonométrie : Savoir identifier le triangle rectangle pertinent (ici ABP) et utiliser la fonction tangente pour déterminer un angle.
- Géométrie de l'espace : Identifier la base du prisme (le trapèze ABCD) et sa hauteur (la longueur de la terrasse, 8 m).
- Unités et réalisme : Attention à la gestion des volumes (capacité du camion) et aux allers-retours pour les frais de livraison.
Guide de résolution détaillé
1. Vérification de l'inclinaison (Angle)
Dans le triangle ABP rectangle en P :
- BP = 5 m (longueur horizontale).
- AP = AD - PD = AD - BC = 0,27 - 0,15 = 0,12 m.
- On utilise la tangente : $\tan(\widehat{ABP}) = \frac{AP}{BP} = \frac{0,12}{5} = 0,024$.
- $\widehat{ABP} = \arctan(0,024) \approx 1,375^\circ$.
L'angle est bien compris entre 1° et 1,5°, la condition est respectée.
2. Calcul du coût total
Étape A : Volume du béton. La base est le trapèze ABCD. Aire = $\frac{(AD + BC) \times DC}{2} = \frac{(0,27 + 0,15) \times 5}{2} = 1,05 \text{ m}^2$. Le volume total est Aire $\times$ longueur = $1,05 \times 8 = 8,4 \text{ m}^3$.
Étape B : Logistique. La capacité d'un camion est de $6 \text{ m}^3$. Pour $8,4 \text{ m}^3$, il faut donc 2 trajets (un plein et un partiel). Distance totale = $2 \text{ (trajets)} \times 2 \text{ (aller-retour)} \times 23 \text{ km} = 92 \text{ km}$.
Étape C : Facture. Béton : $8,4 \times 95 = 798$ €. Livraison : $92 \times 5 = 460$ €. Total = $1258$ €.