Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue un excellent test de modélisation mathématique pour un élève de Première Spécialité. Il demande de structurer une pensée logique pour résoudre un problème de la vie courante en plusieurs étapes. Nous sommes face à un pavé droit (parallélépipède rectangle) dont il faut manipuler à la fois le volume pour la vidange et l'aire latérale pour la rénovation.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences fondamentales sont nécessaires :
- Géométrie dans l'espace : Savoir calculer le volume d'un pavé droit (V = Longueur × largeur × hauteur).
- Calcul d'aires : Identifier les parois à peindre (le fond et les quatre côtés verticaux) sans inclure la surface supérieure.
- Proportionnalité et Débit : Utiliser la relation Temps = Volume / Débit.
- Optimisation réelle : Comprendre que dans un contexte commercial, on ne peut pas acheter une fraction de seau de peinture ; il faut donc arrondir à l'unité supérieure.
Correction détaillée et Guide de résolution
1. Vidange de la piscine :
D'abord, calculons le volume d'eau contenu dans la piscine :
V = 10 m × 4 m × 1,2 m = 48 m³.
Le débit de la pompe est de 14 m³/h. Pour trouver le temps nécessaire, on applique le rapport :
Temps = 48 / 14 ≈ 3,43 heures.
Puisque 3,43 est inférieur à 4, la piscine sera effectivement vide en moins de 4 heures. (Note : 0,43 heure correspond à environ 26 minutes, soit un total de 3h26min).
2. Coût de la rénovation (Peinture) :
Calculons la surface intérieure à peindre :
• Le fond : 10 × 4 = 40 m².
• Les deux grands côtés : 2 × (10 × 1,2) = 24 m².
• Les deux petits côtés : 2 × (4 × 1,2) = 9,6 m².
Surface totale pour une couche = 40 + 24 + 9,6 = 73,6 m².
Puisqu'il faut deux couches, la surface totale à couvrir est de :
73,6 × 2 = 147,2 m².
Déterminons la quantité de peinture nécessaire :
Un litre recouvre 6 m², donc : 147,2 / 6 ≈ 24,53 litres.
Chaque seau contient 3 litres, donc le nombre de seaux est : 24,53 / 3 ≈ 8,18 seaux.
L'acheteur doit prendre 9 seaux (on ne peut pas acheter 0,18 seau).
Coût total = 9 × 69,99 € = 629,91 €.