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Exercice Première Spécialité - 2018 - Ex 4 : Géométrie et Vitesse

1 juin 2018 Troisième (Brevet)

Révise la géométrie avec cet exercice ! 🛼

Prêt à booster tes compétences en calcul de longueurs et en cinématique ? Cet exercice est idéal pour maîtriser :

L'analyse de trajectoires complexes. 📏
Le calcul de périmètres avec le nombre Pi. 🥧
La comparaison de vitesses moyennes. 💨

C'est un excellent entraînement pour renforcer ta logique mathématique et ton agilité avec les unités physiques. Relève le défi et vérifie qui gagne la course ! 🚀

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Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, sollicite des compétences fondamentales en géométrie et en calcul de grandeurs physiques essentielles pour la classe de Première Spécialité. L'objectif est de comparer deux trajectoires distinctes combinant des mouvements rectilignes et circulaires, puis d'évaluer une performance cinématique (vitesse moyenne). L'analyse repose sur la décomposition d'un trajet complexe en éléments géométriques simples : segments et arcs de cercle.

Points de vigilance et notions requises

Calcul de distances : Il faut être capable d'extraire des longueurs par soustraction (pour le trajet du garçon) et par sommation d'arcs (pour le trajet de la fille).
Périmètre du cercle : La formule donnée $p = 2 \times \pi \times r$ doit être adaptée ici à des demi-cercles. Deux demi-cercles de même rayon forment un cercle complet.
Vitesse moyenne : La relation fondamentale $v = \frac{d}{t}$ doit être maîtrisée, en veillant à l'unité (m/s).
Approximation : Utiliser la valeur approchée de $\pi$ pour comparer des réels non rationnels.

Correction détaillée

1. Calcul des longueurs des parcours :

Parcours du garçon ($d_G$) : Le point G est à 200 m du point B, et A est à 60 m de B sur la même ligne. La distance GA est donc : $d_G = 200 - 60 = 140$ m.
Parcours de la fille ($d_F$) : Le trajet se compose de trois segments de 60 m (FE, DC, BA) et de deux demi-cercles de rayon 5 m. Les deux demi-cercles mis bout à bout forment un cercle complet de périmètre $P = 2 \times \pi \times 5 = 10\pi$.
Ainsi, $d_F = 60 + 60 + 60 + 10\pi = 180 + 10\pi$.
En prenant $\pi \approx 3,14$, on a $d_F \approx 180 + 31,4 = 211,4$ m.

Conclusion : Le parcours de la fille ($211,4$ m) est plus long que celui du garçon ($140$ m).

2. Calcul des vitesses :

Vitesse du garçon ($v_G$) : $v_G = \frac{140}{28} = 5$ m/s.
Vitesse de la fille ($v_F$) : $v_F = \frac{180 + 10\pi}{28,5} \approx \frac{211,416}{28,5} \approx 7,42$ m/s.

Conclusion : La fille se déplace beaucoup plus vite que le garçon (environ 7,42 m/s contre 5 m/s).