Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques, bien qu'issu d'un sujet de 2018, mobilise des concepts fondamentaux d'arithmétique essentiels au niveau Lycée. L'objectif est de manipuler la décomposition en facteurs premiers (Théorème fondamental de l'arithmétique) et de comprendre la structure multiplicative des nombres entiers. L'exercice demande d'identifier des diviseurs premiers, de produire une décomposition pour un grand nombre et de résoudre un problème d'optimisation sous contrainte (plus petit nombre impair avec trois facteurs distincts).
Points de vigilance et notions de cours
- Définition d'un nombre premier : Un entier naturel qui a exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Rappel : 1 n'est pas premier.
- Exclusion du facteur 2 : Un nombre est impair si et seulement si le nombre 2 ne figure pas dans sa décomposition en facteurs premiers.
- Puissances de 10 : Pour décomposer rapidement des nombres terminant par des zéros, utilisez la relation $10^n = (2 \times 5)^n = 2^n \times 5^n$.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Analyse de 588 : La décomposition est fournie : $588 = 2^2 \times 3 \times 7^2$. Les diviseurs premiers sont les nombres premiers qui apparaissent dans cette décomposition. Réponse : 2, 3 et 7.
2. Décomposition de 27 000 000 :
a. On peut écrire $27\,000\,000 = 27 \times 10^6$.
Or, $27 = 3^3$ et $10^6 = (2 \times 5)^6 = 2^6 \times 5^6$.
En regroupant, on obtient : $2^6 \times 3^3 \times 5^6$.
b. Les diviseurs premiers sont les bases des puissances de la décomposition. Réponse : 2, 3 et 5.
3. Recherche du nombre impair :
Un nombre impair ne peut pas avoir 2 comme diviseur premier. Pour que ce nombre soit le plus petit possible tout en ayant trois diviseurs premiers différents, nous devons choisir les trois plus petits nombres premiers supérieurs à 2. Ces nombres sont 3, 5 et 7. En les multipliant, on obtient : $3 \times 5 \times 7 = 105$.
Réponse : 105. Toute autre combinaison avec des nombres premiers plus grands (comme 11) ou des puissances supérieures (comme $3^2$) donnerait un résultat strictement supérieur.