Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'une base de Brevet, mobilise des compétences fondamentales pour la classe de Première Spécialité : l'étude de fonctions de référence (ici la fonction inverse), la manipulation de variables et l'interprétation graphique. Le contexte de la course à pied permet de lier mathématiques et situations réelles, en travaillant sur la relation $v = \frac{d}{t}$. En Première, la fonction $f(x) = \frac{60}{x}$ est un cas particulier de fonction homographique que les élèves doivent savoir dériver et étudier.

Points de vigilance et notions de cours

• La conversion des unités de temps : Une erreur classique consiste à utiliser 1,03 pour 1 h 03 min. Il faut convertir en minutes ($1 \times 60 + 3 = 63$ min) ou en heures ($1 + \frac{3}{60} = 1,05$ h).
• La nature de la fonction : Une fonction linéaire est de la forme $f(x) = ax$. Ici, $x$ est au dénominateur, ce qui caractérise une fonction inverse, non linéaire.
• Lecture graphique : Attention à la précision des axes. L'axe des abscisses représente l'allure (min/km) et l'axe des ordonnées la vitesse (km/h).

Correction détaillée

1. Calcul de la vitesse moyenne de Bob :
Bob parcourt 10,5 km en 1 h 03 min. $1 \text{ h } 03 \text{ min} = 63 \text{ minutes}$.
Vitesse $v = \frac{d}{t} = \frac{10,5 \text{ km}}{63 \text{ min}}$.
Pour l'avoir en km/h, on multiplie par 60 : $v = \frac{10,5}{63} \times 60 = 10 \text{ km/h}$.

2. Étude de la fonction f :
a. $f(x) = \frac{60}{x}$. Ce n'est pas une fonction linéaire car elle n'est pas de la forme $f(x) = ax$. C'est une fonction inverse.
b. Image de 5 : $f(5) = \frac{60}{5} = 12$. Cela signifie qu'une allure de 5 min/km correspond à une vitesse de 12 km/h.

3. Exploitation graphique :
a. Antécédent de 10 : On cherche $x$ tel que $f(x) = 10$. Graphiquement, on part de 10 sur l'axe $y$, on rejoint la courbe et on descend vers l'axe $x$. On trouve $x = 6$.
b. Pour une allure de 14 min/km ($x = 14$), on lit graphiquement une ordonnée d'environ 4,3. La vitesse est d'environ 4,3 km/h.