Introduction aux notions du Brevet 2017

L'exercice 6 du sujet de Brevet 2017 (Amérique du Nord) est un problème de synthèse particulièrement riche. Il mobilise trois piliers du programme de mathématiques de troisième : la géométrie plane (aires et périmètres), le calcul littéral (modélisation par une fonction) et l'usage du tableur pour l'optimisation. L'objectif ici est de délimiter un enclos de surface maximale à l'aide d'une longueur de grillage fixe. Ce type de problème d'optimisation est un grand classique de l'épreuve de mathématiques, car il permet de vérifier si l'élève sait passer d'une situation concrète à une expression algébrique abstraite, puis à une exploitation numérique.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Vérification des conditions géométriques

Dans la première partie, on nous donne une valeur numérique : $BC = 5$ m. La première étape consiste à comprendre que le grillage est constitué des segments $[BC]$, $[CD]$, $[DE]$ et $[EF]$. Attention, les murs $[OB]$ et $[OF]$ ne sont pas grillagés. Pour vérifier que Leïla utilise bien ses $50$ mètres de grillage, il faut calculer la somme de ces longueurs. Comme l'enclos $OCDE$ est un rectangle, nous savons que $CD = OE$ et $DE = OC$. Or, $OC = OB + BC = 6 + 5 = 11$ m. Si $FE = 15$ m, alors $OE = OF + FE = 4 + 15 = 19$ m. La longueur totale du grillage est donc $BC + CD + DE + EF = 5 + 19 + 11 + 15 = 50$ m. Le compte est bon !

2. Calcul de l'aire initiale

Pour l'aire de l'enclos $OCDE$, on applique la formule de l'aire d'un rectangle : $Longueur \times largeur$. Ici, $OC \times OE = 11 \times 19 = 209$ m². Cette étape est cruciale pour valider la compréhension de la configuration géométrique avant de passer à la généralisation littérale.

3. Modélisation par le Calcul Littéral

La question 2 introduit la variable $x$ pour représenter la longueur $BC$. C'est ici que l'exercice bascule dans l'algèbre. En notant $BC = x$, on a $OC = 6 + x$. En utilisant la contrainte du grillage (50 m), on exprime $OE$ en fonction de $x$. On aboutit à la fonction $A(x) = -x^2 + 18x + 144$. Pour vérifier la cohérence avec la question 1, on remplace $x$ par $5$ : $A(5) = -(5)^2 + 18(5) + 144 = -25 + 90 + 144 = 209$. La formule est confirmée. Ce passage du particulier au général est le cœur du raisonnement mathématique en classe de troisième.

4. Exploitation du Tableur et Optimisation

La dernière partie utilise un tableur, un outil indispensable du socle commun. La cellule F2 correspond à la valeur de $x$ située en F1, soit $x = 9$. Le tableur calcule l'aire automatiquement. L'observation des valeurs de la ligne 2 montre que l'aire augmente puis diminue. La valeur maximale affichée est $225$ m², obtenue pour $x = 9$ m. Les dimensions de l'enclos pour cette aire maximale sont alors $OC = 6 + 9 = 15$ m et $OE = 24 - 9 = 15$ m. Surprise : l'aire est maximale lorsque l'enclos est un carré !

Les Pièges à éviter

Le piège principal réside dans la confusion entre le périmètre de l'enclos et la longueur du grillage. Le grillage ne couvre pas les côtés $[OB]$ et $[OF]$. Si tu calcules le périmètre total du rectangle au lieu de la ligne brisée $BCDEF$, ton résultat sera faux. Autre point de vigilance : les priorités opératoires dans la formule du tableur. Dans la cellule F2, le signe "-" devant le carré doit être traité avec précaution. Dans la formule =-B1*B1+18*B1+144, le carré ne porte que sur la valeur de la cellule, pas sur le signe moins.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Détaille toujours tes calculs de longueurs avant d'annoncer un périmètre ou une aire.
2. Cite explicitement la formule de l'aire du rectangle : $A = L \times l$.
3. Pour la question sur le tableur, réponds par une phrase claire : "Dans la cellule F2, la formule est =-F1*F1+18*F1+144".
4. N'oublie jamais les unités ($m$ pour les longueurs, $m^2$ pour les aires) dans tes phrases de conclusion.