Introduction : Un sujet complet pour le Brevet 2023

Cet exercice, issu de l'épreuve de mathématiques du Brevet 2023 en Polynésie, est un modèle du genre. Il mobilise trois piliers majeurs du programme de 3ème : la géométrie (périmètres de figures complexes), le traitement de grandeurs (vitesses moyennes et conversions) et l'arithmétique (décomposition en facteurs premiers). L'élève doit ici naviguer entre l'interprétation d'un schéma complexe en LaTeX et la résolution de problèmes de synchronisation. C'est un excellent test pour vérifier sa capacité à organiser un raisonnement structuré sur une thématique concrète : la course de karting.

Analyse Méthodique : Le calcul de la longueur du circuit

La première question demande de montrer que la longueur totale de la piste est d'environ $1045$ mètres. C'est l'étape la plus délicate techniquement. La piste est une composition de segments rectilignes et d'arcs de cercle (quarts et demi-cercles). Pour réussir, l'élève doit identifier chaque portion à partir du schéma. Il faut additionner les longueurs des segments comme BC ($120$ m), DE ($90$ m), FG, HI, JK et AL, tout en calculant les périmètres circulaires. Rappelons que le périmètre d'un cercle est donné par la formule $P = 2 \times \pi \times R$. Pour un demi-cercle, on divise par $2$, et pour un quart de cercle, par $4$. La difficulté réside dans la lecture des rayons : il faut être attentif aux marques de codage et aux dashed lines pour déduire les mesures manquantes. Une erreur de lecture sur un rayon de $30$ m ou $60$ m fausserait tout le résultat final. La rigueur dans l'addition des termes est ici primordiale.

La Vitesse : Entre mètres par seconde et kilomètres par heure

La deuxième et la troisième question portent sur la notion de vitesse moyenne $v = d/t$. Pour le professionnel, le calcul est direct : $1045 / 60$. L'élève doit arrondir au centième près, une consigne souvent oubliée. Pour l'amateur, l'enjeu est la conversion d'unités. L'amateur parcourt $1045$ mètres en $72$ secondes. On obtient d'abord une vitesse en m/s. Or, la limite de sécurité est donnée en km/h. Deux méthodes s'offrent alors à l'élève : multiplier par $3,6$ pour passer directement des m/s aux km/h, ou convertir la distance en km ($1,045$) et le temps en heures ($72/3600$). Cet exercice teste la capacité à gérer les rapports de proportionnalité entre le temps et la distance, une compétence vitale pour le DNB.

Arithmétique : Quand les pilotes se croisent-ils ?

La dernière partie utilise l'arithmétique pour résoudre un problème de cycle. La décomposition de $60$ et $72$ en produits de facteurs premiers est la méthode standard. Pour $60$, on obtient $2^2 \times 3 \times 5$ et pour $72$, on obtient $2^3 \times 3^2$. L'objectif ici est de trouver le Plus Petit Commun Multiple (PPCM). C'est le moment où les deux chronomètres coïncident à nouveau sur la ligne de départ. Ce temps représente le PPCM de $60$ et $72$, soit $360$ secondes (soit exactement $6$ minutes). Enfin, pour déterminer le nombre de tours, il suffit de diviser ce temps total par le temps au tour de chaque pilote ($360/60$ et $360/72$). C'est un classique des problèmes d'engrenages ou de bus qui se croisent, réadapté ici au karting.

Les Pièges à éviter le jour de l'examen

Le premier piège est l'erreur d'unité : confondre le diamètre et le rayon lors du calcul de la piste. Un rayon de $30$ m utilisé comme diamètre divisera votre résultat par deux ! Le second piège concerne les arrondis. Si l'énoncé demande d'arrondir à l'unité pour la longueur du circuit, ne gardez pas de décimales pour les calculs suivants de vitesse, cela pourrait introduire des décalages légers, bien que souvent tolérés. Enfin, en arithmétique, ne confondez pas PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) et PPCM. Le PGCD servirait à diviser la piste en portions égales, alors que le PPCM sert à trouver un instant de rencontre futur.

Conseil de Rédaction pour maximiser vos points

Pour obtenir le maximum de points, ne vous contentez pas d'écrire les chiffres. Commencez chaque réponse par la formule littérale : 'On sait que $v = d/t$'. Présentez clairement votre décomposition en facteurs premiers sous forme de calculs alignés. Pour la lecture du schéma, nommez les segments que vous additionnez (ex: 'Longueur = BC + arc AB + ...'). Cela montre au correcteur que vous avez compris la structure de la figure, même si vous faites une petite erreur de calcul. Enfin, concluez toujours par une phrase réponse claire, surtout pour la question de sécurité (Oui/Non) en comparant explicitement la valeur trouvée à la limite de $60$ km/h.