Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, mobilise des compétences fondamentales de géométrie plane essentielles au programme de Première Spécialité. Il se décompose en deux problématiques concrètes : le calcul d'un périmètre complexe (piscine) et la détermination d'une longueur via des rapports de proportionnalité (voile d'ombrage). En Première, cet exercice peut être abordé sous l'angle de la géométrie repérée en plaçant les points dans un repère orthonormé pour calculer les distances entre deux points à l'aide de la formule de la racine carrée.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser les points suivants :
- Théorème de Pythagore : Identification des triangles rectangles dans une figure complexe.
- Théorème de Thalès : Reconnaissance des configurations triangulaires et des conditions d'alignement.
- Lecture d'énoncé : Distinguer les longueurs totales (comme AC) des segments partiels (comme AB).
Correction détaillée
1ère Partie : Longueur de la frise
La frise suit le contour ABDEGHA. Déterminons chaque segment :
- AB : Le segment [AC] mesure 10 m et [BC] 2 m. Donc AB = AC - BC = 10 - 2 = 8 m.
- BD : Dans le triangle BCD rectangle en C, d'après Pythagore : BD² = BC² + CD² = 2² + 1,5² = 4 + 2,25 = 6,25. D'où BD = √6,25 = 2,5 m.
- DE : Le segment [CF] mesure 4 m (car ACFH est un rectangle et AH=4). DE = CF - (CD + EF) = 4 - (1,5 + 1,5) = 1 m.
- EG : Dans le triangle EFG rectangle en F, EG² = EF² + FG² = 1,5² + 2² = 2,25 + 4 = 6,25. D'où EG = 2,5 m.
- GH : Comme ACFH est un rectangle, FH = AC = 10 m. GH = FH - FG = 10 - 2 = 8 m.
- HA : Donné par l'énoncé, HA = 4 m.
Longueur totale = 8 + 2,5 + 1 + 2,5 + 8 + 4 = 26 mètres.
2ème Partie : Longueur de la fermeture éclair
On considère les triangles KLN et KMO. Les points K, L, M d'une part et K, N, O d'autre part sont alignés. Les bases [LN] et [MO] du trapèze sont parallèles. Nous sommes en configuration de Thalès.
On a l'égalité des rapports : KL / KM = LN / MO.
- KM = KL + LM = 5 + 3,5 = 8,5 m.
- 5 / 8,5 = LN / 10,2.
- LN = (5 × 10,2) / 8,5 = 51 / 8,5 = 6 m.
La longueur de la fermeture éclair est de 6 mètres.