Introduction aux notions du Brevet

Cet exercice du sujet de Mathématiques de la série Générale (Métropole 2017) est une excellente préparation pour l'épreuve du Brevet des Collèges. Il mobilise trois piliers du programme de troisième : la proportionnalité à travers la gestion de tarifs, la trigonométrie pour le calcul d'angles d'inclinaison, et le théorème de Pythagore pour le calcul de longueurs. L'énoncé s'appuie sur une thématique actuelle : le développement durable et l'énergie photovoltaïque. Maîtriser ce type d'exercice pluridisciplinaire est essentiel pour obtenir une mention, car il demande à l'élève de passer d'un modèle concret (un toit) à un modèle géométrique (triangles et rectangles).

Analyse de la Question 1 : Lecture de tableau et Proportionnalité

La première difficulté consiste à extraire les bonnes informations d'un tableau à double entrée. L'énoncé précise qu'il s'agit d'une installation de Type B, d'une puissance de $28$ kW, réalisée en mai 2015. En croisant les données, on observe que mai 2015 se situe dans la période du $01/04/15$ au $30/06/15$. Le tarif correspondant pour une puissance située entre $0$ et $36$ kW est donc de $13,95$ centimes d'euro par kWh.

Le calcul du prix total relève de la proportionnalité : $31420 \times 13,95 = 438309$ centimes. Attention à l'unité ! Pour convertir en euros, on divise par $100$, ce qui nous donne environ $4383$ euros. Conseil méthodologique : Vérifiez toujours l'unité demandée (centimes vs euros) pour éviter une erreur d'un facteur 100.

Analyse de la Question 2 : Utiliser la Trigonométrie

Pour déterminer l'angle $\widehat{ABC}$ formé par le pan sud du toit avec l'horizontale, il faut d'abord identifier le triangle rectangle $ABC$ et calculer la longueur $AC$. Le schéma montre que $A$ est à une hauteur de $7$ m et $C$ à la même hauteur que $B$, soit $4,8$ m. On en déduit : $AC = 7 - 4,8 = 2,2$ m.

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$, nous connaissons le côté opposé à l'angle ($AC = 2,2$ m) et le côté adjacent ($BC = 4,5$ m). La formule de la tangente est ici la plus appropriée : $\tan(\widehat{ABC}) = \frac{AC}{BC}$. En remplaçant par les valeurs, on obtient $\tan(\widehat{ABC}) = \frac{2,2}{4,5} \approx 0,488$. En utilisant la touche $\arctan$ ou $tan^{-1}$ de la calculatrice, on trouve un angle d'environ $26^{\circ}$ au degré près. Piège à éviter : Assurez-vous que votre calculatrice est bien réglée en mode 'Degré' et non 'Radian'.

Analyse de la Question 3a : Application du Théorème de Pythagore

La question demande de prouver que la longueur de la pente $AB$ est d'environ $5$ m. Comme le triangle $ABC$ est rectangle en $C$, le théorème de Pythagore s'applique : $AB^2 = AC^2 + BC^2$. En remplaçant : $AB^2 = 2,2^2 + 4,5^2 = 4,84 + 20,25 = 25,09$. La racine carrée de $25,09$ est environ $5,0089$, ce qui confirme bien que $AB \approx 5$ m.

Analyse de la Question 3b : Calcul de surface et Pourcentage

Le pan sud du toit est un rectangle de dimensions $AB$ (la pente) et la largeur de la maison. Sur le schéma, on lit que la profondeur de la maison est de $7,5$ m. La surface totale est donc $5 \times 7,5 = 37,5$ m². Chaque panneau étant un carré de $1$ m de côté, sa surface est de $1$ m². Les $20$ panneaux couvrent donc $20$ m². Le pourcentage de couverture est donné par le rapport $\frac{\text{Surface panneaux}}{\text{Surface totale}} \times 100$, soit $\frac{20}{37,5} \times 100 \approx 53\%$.

Analyse de la Question 3c : Contraintes réelles et Organisation spatiale

C'est la question la plus complexe car elle demande une réflexion sur les dimensions réelles plutôt que sur les surfaces globales. La surface disponible sur le toit n'est pas de $5 \times 7,5$ car il faut retirer une bordure de $30$ cm ($0,3$ m) tout autour. La longueur utile devient $5 - (2 \times 0,3) = 4,4$ m. La largeur utile devient $7,5 - (2 \times 0,3) = 6,9$ m. Les panneaux étant des carrés de $1$ m de côté, on peut en placer $4$ sur la longueur de $4,4$ m et $6$ sur la largeur de $6,9$ m. Le nombre total de panneaux installables est donc $4 \times 6 = 24$. Comme le propriétaire veut en installer $20$, la réponse est OUI, c'est possible.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour maximiser vos points lors de l'examen : 1. Citez explicitement les théorèmes utilisés ("Dans le triangle ABC rectangle en C, d'après le théorème de Pythagore..."). 2. Soignez vos schémas en reportant les longueurs calculées. 3. Ne confondez pas le calcul d'une aire (longueur x largeur) avec le calcul d'un périmètre. 4. Répondez toujours par une phrase de conclusion claire qui reprend les termes de la question. La rigueur dans l'exposition du raisonnement compte autant que l'exactitude du résultat numérique.