Introduction aux notions du Brevet : Algorithmique et Géométrie

L'exercice 6 du sujet de Brevet 2017 pour les centres étrangers est un modèle d'interdisciplinarité interne aux mathématiques. Il sollicite trois piliers du programme de troisième : l'algorithmique-programmation via le logiciel Scratch, le théorème de Pythagore pour les calculs de longueurs dans des configurations géométriques simples, et enfin la trigonométrie pour la résolution de problèmes d'angles et de segments. Cette mixité est caractéristique des nouveaux sujets du Brevet, où l'élève doit être capable de basculer d'un raisonnement logique (programmation) à un raisonnement calculatoire (géométrie plane).

Analyse de la partie Algorithmique : Scratch et le tracé de la maison

La première question demande de vérifier une dimension géométrique à partir d'un script Scratch. Le script définit un bloc nommé 'maison'. En analysant les instructions, on comprend que le tracé commence par une élévation verticale de 50 unités, suivie d'une inclinaison de 45 degrés pour former le toit. Le sommet du toit est un angle de 90 degrés (résultant d'une rotation de 90 degrés à droite après le premier pan du toit). Le toit est donc un triangle rectangle isocèle dont les côtés mesurent 50 unités.

Pour trouver la longueur $d$, qui correspond à la base de ce toit (et donc à la largeur de la maison), nous devons utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par le toit. Si l'on note $a$ le côté du pan de toit ($a = 50$), on a : $d^2 = a^2 + a^2$, soit $d^2 = 50^2 + 50^2 = 2500 + 2500 = 5000$. La racine carrée de $5000$ est environ $70,71$. On vérifie donc bien que $d \approx 71$ à l'unité près. Ce passage est crucial car il fait le pont entre le code informatique et la réalité géométrique.

Calcul de l'occupation spatiale : La rue complète

La deuxième question porte sur l'espace disponible dans la fenêtre d'exécution. La fenêtre Scratch s'étend de $-240$ à $240$ sur l'axe des abscisses, soit une largeur totale de $480$ unités. Le programme principal commence à $x = -240$. Chaque itération de la boucle 'répéter $n$ fois' comprend le tracé d'une maison ($d \approx 70,71$) suivi d'un déplacement de $20$ unités.

La longueur totale occupée par une 'maison' et son espace suivant est donc de $70,71 + 20 = 90,71$. Pour trouver le nombre maximum $n$ de maisons, on pose l'inéquation $n \times 90,71 \le 480$. En divisant $480$ par $90,71$, on obtient environ $5,29$. Comme $n$ doit être un nombre entier, la valeur maximale est $n = 5$. Attention, certains élèves pourraient oublier le dernier espace de 20 unités, mais le script Scratch l'exécute systématiquement dans la boucle, il faut donc l'inclure dans le calcul.

La Trigonométrie appliquée à la sortie de cheminée

La troisième partie de l'exercice est totalement indépendante et se concentre sur la trigonométrie pure. On nous présente une configuration de triangles emboîtés avec des droites perpendiculaires. Nous connaissons un angle $\widehat{HAC} = 30^\circ$ et des longueurs sur le segment $[AC]$ où $AM = 16$ et $MC = 10$, donc $AC = 16 + 10 = 26$.

Pour calculer $EM$ dans le triangle $EAM$ rectangle en $E$ : On utilise le sinus de l'angle $\widehat{EAM}$ car nous cherchons le côté opposé et connaissons l'hypoténuse $AM$.
$\sin(30^\circ) = \frac{EM}{AM} \Rightarrow EM = 16 \times \sin(30^\circ) = 16 \times 0,5 = 8$.

Pour calculer $HC$ dans le triangle $HAC$ rectangle en $H$ : De même, $\sin(30^\circ) = \frac{HC}{AC} \Rightarrow HC = 26 \times \sin(30^\circ) = 26 \times 0,5 = 13$.

Enfin, pour calculer $HE$, il faut d'abord trouver $HA$ et $EA$ par le cosinus. $HA = AC \times \cos(30^\circ) = 26 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 22,52$ et $EA = AM \times \cos(30^\circ) = 16 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 13,86$. Par différence, $HE = HA - EA \approx 22,52 - 13,86 = 8,66$.

Pièges classiques et astuces de rédaction

Les erreurs les plus fréquentes dans cet exercice concernent la confusion entre les fonctions trigonométriques (Sinus, Cosinus, Tangente). Une astuce mémotechnique simple comme 'SOH CAH TOA' permet de ne jamais se tromper. Un autre piège réside dans le réglage de la calculatrice : assurez-vous qu'elle soit bien en mode **Degrés** et non en Radians. Pour la rédaction, n'oubliez jamais de préciser dans quel triangle rectangle vous travaillez avant d'énoncer la formule trigonométrique. C'est un point de rigueur très apprécié des correcteurs du Brevet.