Analyse de l'énoncé et Enjeux de Modélisation
Cet exercice, extrait du sujet DNB 2017, est un cas d'école de modélisation mathématique appliquée à des situations concrètes. Pour un élève de Première Spécialité, il permet de réactiver des compétences fondamentales en géométrie dans l'espace et en arithmétique. L'objectif est de déterminer une durée de remplissage en fonction d'un volume et d'un débit constant. La difficulté ne réside pas dans la complexité des formules, mais dans la rigueur des étapes et la précision des conversions d'unités.
Points de Vigilance et Notions Requises
Avant de se lancer dans les calculs, plusieurs points méritent une attention particulière :
- La hauteur d'eau effective : Il ne faut pas calculer le volume total de la piscine (profondeur de 1,80 m), car un espace de 20 cm doit être laissé. La hauteur d'eau réelle $h$ est donc de $1,80 - 0,20 = 1,60$ m.
- La conversion des unités : Le débit est fourni en litres par seconde, tandis que les dimensions de la piscine sont en mètres. Il est impératif de savoir que $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litres}$.
- La gestion du temps : La comparaison finale se fait par rapport à une journée. Il faut donc connaître la valeur d'une journée en secondes : $24 \times 3600 = 86\,400$ s.
Guide de Résolution Détaillé
Étape 1 : Calcul du volume d'eau.
La piscine est un pavé droit (parallélépipède rectangle). Le volume $V$ d'eau est donné par :
$V = \text{Longueur} \times \text{Largeur} \times \text{Hauteur d'eau}$
$V = 8 \times 4 \times 1,6 = 51,2 \text{ m}^3$.
Étape 2 : Conversion en litres.
$51,2 \text{ m}^3 = 51,2 \times 1000 = 51\,200 \text{ litres}$.
Étape 3 : Calcul de la durée de remplissage.
On sait que 10 litres sont versés en 18 secondes. On peut utiliser un produit en croix ou calculer le temps pour 1 litre ($1,8$ s).
Durée $T = 51\,200 \times 1,8 = 92\,160 \text{ secondes}$.
Étape 4 : Comparaison avec une journée.
Une journée contient $24 \text{ heures}$, soit $24 \times 60 \times 60 = 86\,400 \text{ secondes}$.
On constate que $92\,160 > 86\,400$.
Conclusion : Il faut donc plus d'une journée pour remplir la piscine. On peut préciser qu'il manque environ $5\,760$ secondes, soit un peu plus d'une heure et demie supplémentaire.
Lien avec le programme de Première Spécialité
Bien que cet exercice semble simple, il préfigure l'étude des suites arithmétiques ou des fonctions linéaires. En effet, le volume d'eau $V(t)$ en fonction du temps $t$ peut être modélisé par une fonction de la forme $V(t) = k \times t$, où $k$ est le débit. En Première, on pourrait complexifier ce problème en introduisant un débit variable ou une fuite, nécessitant alors l'usage de la dérivation ou des suites pour modéliser l'évolution du système.