Introduction : Une épreuve de prise d'initiatives

L'exercice 2 du sujet de mathématiques du Brevet (DNB) de la zone Amérique du Sud 2017 est un cas concret passionnant mêlant la géométrie plane et des problématiques de la vie courante. Ce type d'énoncé, classé sous le tag Prise d'initiatives, ne donne pas de questions intermédiaires. L'élève doit construire son propre raisonnement pour déterminer si Madame Duchemin peut légalement louer son studio à 700 €. Nous allons décomposer ensemble les étapes de résolution en utilisant les propriétés des triangles isocèles et le théorème de Thalès ou la proportionnalité.

Analyse méthodique : Modéliser la situation

La première difficulté consiste à extraire les données mathématiques du texte et du schéma. Le studio est un prisme droit dont la base est un triangle $ABC$ isocèle en $C$. On note $K$ le milieu de $[AB]$. La hauteur totale du plafond au centre est $CK = 2,90$ m. La largeur totale au sol est $AB = 5 + 5 = 10$ m. La profondeur du studio est de $8$ m. La notion de surface habitable est ici centrale : elle concerne uniquement la zone où la hauteur sous plafond dépasse $1,80$ m. Sur le schéma, cela correspond au rectangle grisé au sol.

Pour calculer cette surface, nous devons déterminer la largeur de cette zone grisée. Soit $h = 1,80$ m la hauteur limite. Cherchons la distance horizontale depuis le centre $K$ où cette hauteur est atteinte. En observant le triangle rectangle $CKB$, on peut appliquer le théorème de Thalès. En effet, la hauteur de $1,80$ m (segment $[JH]$) est parallèle à la hauteur principale $[CK]$. Dans le triangle $CKB$, le point $H$ appartient à $[KB]$ et le point $J$ appartient à $[CB]$. Les droites $(JH)$ et $(CK)$ sont parallèles car elles sont toutes deux perpendiculaires à la base $(AB)$.

Calcul détaillé de la surface habitable

Appliquons les rapports de Thalès dans le triangle $CKB$ en partant du sommet $B$ : $\frac{BH}{BK} = \frac{JH}{CK}$. Nous connaissons $BK = 5$ m, $JH = 1,80$ m et $CK = 2,90$ m. L'égalité devient : $\frac{BH}{5} = \frac{1,80}{2,90}$. Par un produit en croix, on obtient $BH = \frac{5 \times 1,80}{2,90} \approx 3,103$ m. La distance $KH$ (distance du centre à la limite de la zone habitable) est donc $BK - BH = 5 - 3,103 = 1,897$ m. La largeur totale de la zone habitable est le double de $KH$, soit $L = 2 \times 1,897 \approx 3,794$ m.

La surface habitable est un rectangle de largeur $L \approx 3,79$ m et de longueur $P = 8$ m. Le calcul de l'aire donne $S = 3,794 \times 8 \approx 30,35$ m². Attention : une erreur fréquente est d'utiliser l'aire du triangle $ABC$, mais le loyer ne se calcule que sur la partie où l'on peut se tenir debout selon la loi !

Les Pièges à éviter

1. Confusion sur la hauteur : Ne confondez pas la hauteur du studio ($2,90$ m) avec la hauteur limite ($1,80$ m) lors de l'application de Thalès.
2. Les arrondis : L'énoncé précise que les mesures initiales sont au cm près. Pour vos calculs intermédiaires, gardez au moins 3 décimales pour ne pas fausser le résultat final sur le prix du loyer.
3. La définition de surface habitable : Bien lire l'article R111-2 cité. Si vous calculez la surface totale au sol ($10 \times 8 = 80$ m²), votre réponse sera totalement fausse.

Conseils de rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points sur une question de 'prise d'initiative', explicitez clairement votre démarche : 'Je cherche d'abord la largeur de la zone habitable en utilisant le théorème de Thalès'. Nommez les triangles et les droites parallèles. Enfin, concluez par une comparaison explicite : Le prix maximum autorisé est de $30,35 \text{ m}^2 \times 20 \text{ €/m}^2 = 607 \text{ €}$. Madame Duchemin veut louer à $700 \text{ €}$, ce qui est supérieur au maximum légal. La réponse est donc non.