Introduction aux notions du Brevet 2017

Cet exercice, issu du sujet de mathématiques du Brevet 2017 pour la zone Wallis-et-Futuna, se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format est particulièrement prisé car il permet de balayer une large partie du programme de 3ème en un seul exercice. Ici, nous allons aborder cinq piliers fondamentaux : le calcul fractionnaire, les augmentations en pourcentage, les effets des agrandissements sur les volumes (géométrie dans l'espace), les bases de l'arithmétique avec les nombres premiers, et enfin la manipulation des fonctions numériques. L'objectif de cet exercice n'est pas seulement de trouver la bonne réponse, mais de maîtriser les automatismes de calcul et les propriétés mathématiques sous-jacentes.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Calcul de proportions et fractions

La première question nous demande de déterminer la proportion d'adhérents d'un club sportif ayant un âge compris entre 25 et 42 ans. On nous donne deux informations : $\dfrac{1}{8}$ ont plus de 42 ans et $\dfrac{1}{4}$ ont moins de 25 ans. Pour trouver la proportion intermédiaire, il faut soustraire la somme des deux catégories connues à l'unité totale (représentant 100% des adhérents). Le calcul est le suivant : $1 - (\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{4})$.
Pour additionner des fractions, le passage par un dénominateur commun est obligatoire. Ici, le dénominateur commun est 8 car 4 est un diviseur de 8. On transforme donc $\dfrac{1}{4}$ en $\dfrac{2}{8}$. La somme devient $\dfrac{1}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{3}{8}$. Enfin, on effectue la soustraction : $1 - \dfrac{3}{8} = \dfrac{8}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}$. La réponse exacte est donc la C.

2. Augmentation de prix et pourcentages

La deuxième question porte sur une hausse de prix de 20% sur un article coûtant 46 000 F. Appliquer un pourcentage d'augmentation revient à multiplier la valeur initiale par un coefficient multiplicateur de la forme $(1 + \dfrac{p}{100})$. Ici, $p = 20$, donc le coefficient est $(1 + 0,20) = 1,2$. Le nouveau prix est $46000 \times 1,2 = 55200$. Une autre méthode consiste à calculer 10% de 46 000 (soit 4 600), à le doubler pour obtenir 20% (9 200), puis à l'ajouter au prix de départ.

3. Géométrie et Volumes : L'effet d'échelle

Dans la troisième question, on s'intéresse à l'agrandissement d'un cube. On triple la longueur de son arête. C'est un point crucial du cours de 3ème : si les longueurs d'un solide sont multipliées par un coefficient $k$, alors son volume est multiplié par $k^3$. Ici, $k=3$, donc le volume est multiplié par $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$. La réponse correcte est la D. Il est fréquent que les élèves répondent "multiplié par 3" ou "multiplié par 9", mais cela correspondrait respectivement aux longueurs ou aux aires des faces.

4. Arithmétique : Nombres premiers

La quatrième question interroge sur la nature des nombres 23 et 37. Un nombre est dit premier s'il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. En vérifiant les critères de divisibilité habituels (2, 3, 5), on constate que ni 23 ni 37 ne sont divisibles par ces petits nombres. En testant davantage (7, 11...), on confirme qu'ils sont tous deux premiers. La réponse A est donc la bonne. Notez que s'ils n'avaient aucun diviseur commun autre que 1 (ce qui est vrai ici puisqu'ils sont premiers), on dirait aussi qu'ils sont "premiers entre eux", mais l'énoncé propose directement "sont premiers".

5. Fonctions : Calcul d'image

Enfin, on nous demande de calculer l'image de 3 par la fonction $f(x) = x^2 - 2x + 7$. L'image d'un nombre s'obtient en remplaçant $x$ par ce nombre dans l'expression de la fonction. On calcule donc $f(3) = 3^2 - 2 \times 3 + 7$. Respectons les priorités opératoires : $f(3) = 9 - 6 + 7$. Ensuite, $9 - 6 = 3$, et $3 + 7 = 10$. L'image de 3 est donc 10 (Réponse A).

Les Pièges à Éviter

Le piège le plus redoutable dans un QCM de ce type est la précipitation sur les volumes. Il ne faut jamais oublier que l'exposant suit la dimension : 1D (longueurs) -> $k^1$, 2D (aires) -> $k^2$, 3D (volumes) -> $k^3$. Un autre piège concerne les fractions : ne jamais additionner les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ($1/8 + 1/4$ n'est pas $2/12$ !). Enfin, pour les fonctions, faites attention aux signes, notamment si le nombre à remplacer est négatif (pensez aux parenthèses pour le carré).

Conseil de Rédaction

Même si la consigne stipule de ne pas justifier, l'usage d'un brouillon organisé est indispensable pour réussir le Brevet. Sur votre copie, respectez scrupuleusement le format demandé : indiquez le numéro de la question et la lettre (ou le contenu) de la réponse choisie. Une présentation propre (par exemple sous forme de liste ou de tableau clair) permet au correcteur de valider vos points rapidement. N'oubliez pas que même sans justification demandée, une erreur de calcul est fatale dans un QCM, car il n'y a pas de points intermédiaires pour la démarche.