Introduction aux Fonctions de 3ème
Cet exercice du Brevet 2015 (Zone Nouvelle-Calédonie) est une étude de cas classique sur les fonctions. L'objectif est de comparer trois systèmes de tarification pour le téléchargement de clips vidéo. À travers ce problème, nous mobilisons les notions de fonctions linéaires, de fonctions affines et de fonctions constantes. Comprendre comment transformer un énoncé concret en expressions algébriques comme \(f(x)\), \(g(x)\) et \(h(x)\) est une compétence fondamentale pour l'épreuve de mathématiques du diplôme national du brevet.
Analyse de la Question 1 : Le Choix Initial
Pour un utilisateur ponctuel qui ne souhaite télécharger qu'un seul clip (\(x=1\)), il faut calculer le coût pour chaque option. Pour le téléchargement direct, le prix est de \(4€\). Pour l'option membre, le coût total est l'inscription plus le prix du clip : \(10 + 2 = 12€\). Pour l'option premium, le coût est fixe à \(50€\). La comparaison est immédiate : \(4 < 12 < 50\). Le choix le moins cher pour un clip unique est donc le téléchargement direct sans inscription.
Analyse de la Question 2 : Le Tableau de Valeurs
Le tableau permet de visualiser l'évolution des prix en fonction de la quantité. Pour 5 clips en téléchargement direct, on calcule \(4 \times 5 = 20€\). Pour l'option membre, on applique la formule \(10 + 2 \times 5 = 20€\). À 5 clips, on observe un point d'équilibre entre le direct et le membre. Au-delà de 5 clips (à partir de 6), l'option membre devient financièrement plus avantageuse. C'est un point de rupture essentiel à identifier dans l'analyse économique d'un contrat.
Analyse de la Question 3 : Modélisation et Graphique
L'exercice demande d'associer des fonctions aux tarifs. C'est ici que la théorie rejoint la pratique :
1. Le tarif direct est proportionnel au nombre de clips : \(g(x) = 4x\) (fonction linéaire). Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine.
2. Le tarif membre inclut un coût fixe de départ : \(h(x) = 2x + 10\) (fonction affine). Sa droite ne passe pas par l'origine mais par le point \((0, 10)\).
3. Le tarif premium est forfaitaire : \(f(x) = 50\) (fonction constante). C'est une droite horizontale parallèle à l'axe des abscisses.
Le tracé doit être précis. Pour \(h(x)\), utilisez deux points, par exemple \((0, 10)\) et \((10, 30)\). Pour déterminer graphiquement quand le premium est le moins cher, on cherche l'intervalle où la droite de \(f(x)\) est située en dessous des deux autres. Graphiquement, cela se produit après l'intersection de la droite \(h\) et de la droite \(f\).
Les Pièges à Éviter au Brevet
Attention à ne pas oublier l'unité (l'euro) dans vos réponses. Un piège courant est de mal interpréter l'axe des ordonnées sur le graphique, surtout quand l'échelle est importante (ici 1 unité = 10 euros). Vérifiez toujours la cohérence de vos calculs avec votre tracé. Par exemple, si votre calcul dit que le membre est moins cher à partir de 5 clips, les droites \(g\) et \(h\) doivent se croiser exactement à \(x=5\).
Conseil de Rédaction pour l'Examen
Pour obtenir le maximum de points, soignez la justification. Ne vous contentez pas d'un nombre. Écrivez : « Soit \(x\) le nombre de clips. Le coût pour l'option membre est composé d'une partie fixe de \(10€\) et d'une partie variable de \(2€\) par clip, d'où \(h(x) = 2x + 10\) ». Pour la lecture graphique, tracez des pointillés sur votre copie pour montrer au correcteur comment vous avez trouvé la valeur de \(x=20\) pour l'offre premium. La clarté de l'argumentation est aussi importante que l'exactitude du résultat.