Introduction aux fondamentaux du Brevet 2024

L'exercice 1 du sujet de Brevet 2024 en Polynésie est une synthèse parfaite des compétences attendues en fin de cycle 4. Ce type d'exercice, souvent sous forme de questions indépendantes, permet de tester la polyvalence des élèves sur des thèmes variés : Arithmétique, Puissances, Grandeurs composées, Équations, Fonctions et Thalès. Maîtriser ce premier exercice est crucial pour gagner en confiance dès le début de l'épreuve de mathématiques.

Analyse de la Question 1 : Arithmétique et Facteurs Premiers

La première question demande d'identifier les nombres divisibles par 21 parmi des décompositions en produits de facteurs premiers. Le raisonnement mathématique repose sur une propriété simple : un nombre est divisible par $21$ si et seulement si sa décomposition contient au moins un facteur $3$ et au moins un facteur $7$, car $21 = 3 \times 7$.

• Nombre 1 ($2^2 \times 11 \times 23$) : Pas de 3 ni de 7. Non divisible.
• Nombre 2 ($2^4 \times 3^4 \times 11$) : Contient un 3 mais pas de 7. Non divisible.
• Nombre 3 ($7^3 \times 13 \times 17$) : Contient un 7 mais pas de 3. Non divisible.
• Nombre 4 ($2 \times 3 \times 5 \times 7$) : Contient $3 \times 7 = 21$. Divisible.
• Nombre 5 ($2^3 \times 3^2 \times 7$) : Contient $3^2$ (donc au moins un 3) et un 7. Divisible.

Les nombres divisibles par 21 sont donc les nombres 4 et 5.

Analyse de la Question 2 : Écriture scientifique et Puissances

L'écriture scientifique d'un nombre est de la forme $a \times 10^n$, où $1 \leq a < 10$. Pour le nombre $0,00000276$, nous devons déplacer la virgule vers la droite de 6 rangs pour obtenir $2,76$. Comme le nombre de départ est inférieur à 1, l'exposant sera négatif. On obtient ainsi : $2,76 \times 10^{-6}$. C'est un automatisme à acquérir pour traiter les échelles de grandeur en physique et en mathématiques.

Analyse de la Question 3 : Conversion de Grandeurs Composées

La conversion d'une vitesse de km/min en m/s demande deux étapes de conversion. La vitesse de la comète Hale-Bopp est de $2640$ km/min.

1. Convertir la distance : $2640$ km = $2\,640\,000$ mètres.
2. Convertir le temps : $1$ minute = $60$ secondes.
3. Calculer le ratio : $2\,640\,000 / 60 = 44\,000$ m/s.

La vitesse est donc de $44\,000$ m/s. Attention à ne pas multiplier par 60 au lieu de diviser !

Analyse de la Question 4 : Équations Produit Nul

L'équation $(2x - 7)(3x + 1) = 0$ est une équation produit nul. Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un des facteurs est nul. On résout donc séparément :

• $2x - 7 = 0 \implies 2x = 7 \implies x = 3,5$
• $3x + 1 = 0 \implies 3x = -1 \implies x = -1/3$

Les solutions sont $3,5$ et $-1/3$. Cette notion est systématiquement présente au Brevet.

Analyse de la Question 5 : Fonctions et Calcul d'Images

On nous donne $f(x) = 5x^2 + 2$. Pour trouver l'image de $-3$, on remplace $x$ par $-3$ dans l'expression. Le piège classique est la gestion du signe négatif au carré : $f(-3) = 5 \times (-3)^2 + 2$. Or, $(-3)^2 = 9$. Donc $f(-3) = 5 \times 9 + 2 = 45 + 2 = 47$. L'image de $-3$ par $f$ est $47$.

Analyse de la Question 6 : Théorème de Thalès

La configuration montre deux triangles emboîtés avec des droites parallèles. Les conditions d'application du théorème de Thalès sont réunies : les points C, D, B et C, E, A sont alignés dans cet ordre, et (ED) // (AB).
Les rapports de longueurs sont : $CD/CB = CE/CA = DE/AB$.
Attention, ici nous avons $BD = 1$ cm et $CD = 3$ cm. La longueur totale $CB$ est donc $CD + DB = 3 + 1 = 4$ cm.
On utilise le rapport : $3 / 4 = DE / 5$.
Par produit en croix : $DE = (3 \times 5) / 4 = 15 / 4 = 3,75$ cm.

Conseils de Rédaction et Pièges à Éviter

Pour l'arithmétique, justifiez toujours en citant les critères de divisibilité ou la présence des facteurs. Pour Thalès, nommez toujours les droites parallèles et les points alignés avant de poser les rapports. Enfin, vérifiez toujours la cohérence de vos résultats : une longueur dans un triangle réduit ne peut pas être plus grande que la longueur correspondante dans le triangle initial !