Analyse de l'énoncé et Modélisation

Cet exercice, bien qu'extrait d'un sujet de fin de collège (DNB), aborde des compétences cruciales pour la classe de Première Spécialité : la modélisation algébrique et la manipulation d'expressions du second degré. L'objectif principal est de transformer un énoncé narratif en un modèle mathématique rigoureux. Nous avons deux protagonistes, Léo et Julie, qui suivent chacun un protocole de calcul différent appliqué à une même valeur de départ que nous noterons $x$.

Traduction Algébrique des Programmes

Pour réussir cet exercice, la première étape consiste à définir les fonctions associées à chaque programme :

• Programme de Léo : Il multiplie $x$ par 6 puis ajoute 5. On obtient l'expression : $L(x) = 6x + 5$. C'est une fonction affine.
• Programme de Julie : Elle ajoute 8 à $x$, multiplie le tout par $x$, puis soustrait $x^2$. On obtient l'expression : $J(x) = x(x + 8) - x^2$.

Développement et Simplification

Un point de vigilance majeur en Première est la capacité à simplifier rapidement des expressions. En développant l'expression de Julie, on remarque que $J(x) = x^2 + 8x - x^2$. Les termes en $x^2$ s'annulent, ce qui simplifie radicalement le problème. Bien que l'énoncé suggère initialement une structure de second degré, nous aboutissons à une expression linéaire : $J(x) = 8x$. Cette étape est fondamentale pour éviter des erreurs de calcul ultérieures.

Correction Détaillée

Question 1 : Calcul pour $x = -3$

• Léo : $6 \times (-3) + 5 = -18 + 5 = -13$.
• Julie : $(-3 + 8) \times (-3) - (-3)^2 = 5 \times (-3) - 9 = -15 - 9 = -24$.

Question 2 : Recherche de l'égalité
On cherche $x > 0$ tel que $L(x) = J(x)$.
Soit : $6x + 5 = 8x$.
En isolant les termes en $x$, on obtient $5 = 8x - 6x$, d'où $5 = 2x$.
La solution est $x = \frac{5}{2} = 2,5$. Puisque 2,5 est un nombre positif, la condition de l'énoncé est respectée.

Perspectives pour la Première Spécialité

En Première Spécialité, ce type de problème évolue souvent vers l'étude de fonctions plus complexes où le terme en $x^2$ ne s'annule pas, menant à l'utilisation du discriminant $\Delta$. Il est donc primordial de maîtriser ces bases de mise en équation pour aborder sereinement les chapitres sur le second degré et les variations de fonctions.