Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, mobilise des concepts fondamentaux pour la classe de Première Spécialité Mathématiques. Il traite des probabilités discrètes dans le contexte d'une expérience aléatoire répétée avec remise. L'enjeu ici est de distinguer la probabilité théorique de la fréquence observée et de comprendre la notion d'indépendance.

Points de vigilance et notions de cours

• Événement contraire : La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire est égale à 1. Si $A$ et $B$ forment une partition de l'univers, alors $P(B) = 1 - P(A)$.
• Indépendance des tirages : C'est le point crucial de la question 2. Dans un tirage avec remise, la composition de l'urne reste identique à chaque étape. Le résultat d'un tirage n'influence absolument pas le suivant. On dit que les épreuves sont indépendantes et identiquement distribuées.
• Lien Probabilité-Effectif : La probabilité d'un événement dans une situation d'équiprobabilité est donnée par le rapport : $\frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre total de cas}}$.

Correction détaillée

1. Justification de la probabilité des boules bleues :
L'urne ne contient que des boules vertes et bleues. L'événement « tirer une boule bleue » est donc l'événement contraire de « tirer une boule verte ».
On a : $P(\text{bleue}) = 1 - P(\text{verte}) = 1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{5} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}$.

2. Analyse du 7ème tirage :
C'est une question de raisonnement sur l'indépendance. Puisque les tirages s'effectuent avec remise, la probabilité d'obtenir chaque couleur reste constante à chaque essai. Le fait d'avoir tiré 6 boules vertes consécutives n'augmente ni ne diminue les chances d'obtenir une verte au tirage suivant. Au 7ème tirage, $P(\text{verte})$ est toujours $0,4$ (soit $2/5$) et $P(\text{bleue})$ est toujours $0,6$ (soit $3/5$). Il a donc, comme à chaque tirage, plus de chances d'obtenir une bleue.

3. Calcul du nombre de boules bleues :
Soit $N$ le nombre total de boules dans l'urne. On sait que $P(\text{verte}) = \dfrac{\text{Nombre de boules vertes}}{N}$.
On a l'équation : $\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{N}$.
Par produit en croix : $2 \times N = 5 \times 8 \implies 2N = 40 \implies N = 20$.
Il y a 20 boules au total. Le nombre de boules bleues est donc $20 - 8 = 12$ boules bleues.