Analyse de l'énoncé : De la vitesse moyenne à la cinématique
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2015, pose les bases fondamentales de la gestion des grandeurs composées nécessaires en Première Spécialité. Il confronte l'élève à une situation concrète : le saut record de Félix Baumgartner. L'enjeu ici est double : maîtriser les conversions d'unités de vitesse (km/h vers m/s) et manipuler des durées dans le système sexagésimal pour calculer une vitesse moyenne. En Première Spécialité, ces notions sont le socle sur lequel repose l'étude de la dérivation, notamment pour comprendre la distinction entre vitesse moyenne (taux de variation) et vitesse instantanée (nombre dérivé).
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont requises :
- Conversion de vitesse : Savoir que pour passer de km/h à m/s, il faut diviser par 3,6 (car 1 km = 1000 m et 1 h = 3600 s).
- Gestion des durées : Convertir des minutes et secondes en secondes totales avant d'effectuer un quotient.
- Soustraction de grandeurs : Isoler la phase spécifique du saut (parachute ouvert) en soustrayant les données de la chute libre aux données totales.
- Lien avec la Première Spécialité : La vitesse moyenne calculée ici sur un intervalle de temps correspond physiquement au coefficient directeur de la sécante entre deux points d'une courbe de position.
Correction détaillée et guide de résolution
Question 1 : Félix Baumgartner a-t-il atteint son objectif ?
L'objectif est d'atteindre 340 m.s⁻¹. Sa vitesse maximale enregistrée est de 1 357,6 km.h⁻¹.
Calcul : $v = \frac{1357,6}{3,6} \approx 377,1$ m.s⁻¹.
Puisque $377,1 > 340$, l'objectif est atteint : il a bien franchi le mur du son.
Question 2 : Calcul de la vitesse moyenne avec parachute ouvert.
D'abord, identifions la distance parcourue avec le parachute ouvert :
$D_{parachute} = Altitude\ totale - Distance_{chute\ libre} = 38\ 969,3 - 36\ 529 = 2\ 440,3$ mètres.
Ensuite, calculons la durée de cette phase :
Durée totale : 9 min 3 s = $(9 \times 60) + 3 = 543$ s.
Durée chute libre : 4 min 19 s = $(4 \times 60) + 19 = 259$ s.
Durée parachute ouvert : $543 - 259 = 284$ s.
Enfin, appliquons la formule de la vitesse moyenne $v = \frac{d}{t}$ :
$v = \frac{2440,3}{284} \approx 8,592...$ m.s⁻¹.
En arrondissant à l'unité, on obtient une vitesse moyenne de 9 m.s⁻¹.
Vers la spécialité mathématiques
En classe de Première, cet exercice peut être prolongé par l'étude d'une fonction de position $h(t)$. Si l'on modélisait la chute libre par une fonction polynôme du second degré (en négligeant les frottements au départ), on pourrait utiliser la dérivation pour trouver la vitesse instantanée à n'importe quel instant $t$. Le calcul effectué en question 2 est, mathématiquement, un taux de variation : $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.